底面面积乘高的 1． 3
台体体积
根据台体的特征，如何求台体的体积？
P
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥) 截成的，因此可以利用两个锥体 的体积差．得到圆台(棱台)的体积 公式(过程略)．
A
V VP ABCD VP ABCD
1 (S SS S)h 3
A
D
S
C
BhD来自S CB台体体积
棱台（圆台）的体积公式
典型例题精析
【例1】圆台的上、下底面半径分别是 10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇 环的圆心角是180°,那么圆台的表面 积是多少?
【练一练】1.长方体的长、宽、高分别 为a,b,c，则这个长方体的表面积是____.
2.已知圆锥的高为4，母线长为5，则 圆锥的侧面积为____.
3.棱长为1,各面都是等边三角形的四 面体的表面积为____.
4.如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底 直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆 壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘
米（ 取3.14，结果精确到1 cm2 ）？
解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：
S
15
2
15
15
20
15
1.5
2
2 2
2 2
999 (cm2 )
2r'
r ' O’
2r
l
rO
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 (r2 r 2 rl rl )
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
r O
r’
l 上＝底扩r 大
O
r 'O’
l r’＝
rO
上0底缩小
l
rO
S柱 2r(r l) S台 (r2 r 2 rl rl ) S锥 r(r l)
提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
空间问题
平面图形面积 平面问题
引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它 们的表面积就是各个面的面积的和．
因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面 图形求面积的方法，求立体图形的表面积．
面积，h 为台体高
h为柱体高
典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，
问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？
解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即:
V 3 122 610 3.14 (10 )2 10
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面 积？
h
正棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
正棱锥的侧面展开图
h/ h/
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面 积？
答：花盆的表面积约是999 cm2 ．
20cm
15cm
15cm
柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的 体积公式,它们的体积公式可以统一为：
V Sh（S为底面面积，h为高）．
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
圆锥体积
圆锥的体积公式：
V 1 Sh （其中S为底面面积，h为高） 3
圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 1． 3
棱锥体积
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
锥体体积
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
的 1．即棱锥的体积： 3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面 面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于
典型例题
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成．
S 解：先求 ΔSBC的面积，过点S作 SD BC，
交BC于点D．
A
因为BC=a，SD SB sin 60 3 a
2
BD
C
所以：S ΔSBC
=
1 2
BC
•
SD
V 1 (S SS S)h 3
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S 0 V 1 (S
3
SS S)h S S V 1 Sh
3
S为底面面积， S分别为上、下底面
S为底面面积，
h为锥体高
4
2
2956 (mm3)
2.956 (cm3 )
所以螺帽的个数为 5.81000 (7.8 2.956) 252（个） 答：这堆螺帽大约有252个．
知识小结
柱体、锥体、台体的表面积 展开图
圆柱 S 2r(r l) r r
圆台S (r2 r 2 rl rl)
r 0 圆锥 S r(r l)
各面面积之和
知识小结
柱体、锥体、台体的体积
柱体V Sh
S S'
台体V 1 (S SS S)h
3
S' 0
锥体V 1 Sh
3
【例2】一个正三棱锥的底面边长为6， 侧棱长为 15, 求这个三棱锥的体积. 思路点拨：正三棱锥顶点和底面中心 的连线与底面垂直，利用此特点求出 棱锥的高即可.
【练一练】1.一组邻边长分别为1和2 的矩形，绕其一边所在的直线旋转成 一个圆柱，则这个圆柱的体积为____.
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
棱锥的展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面 积？
侧面展开
h' h'
正棱台的侧面展开图
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
=
1 2
a×
3 2
a
=
3 a2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积 ．
圆柱的表面积
r O l 2r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l)
圆锥的表面积
2r l
rO
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r2 rl r(r l)
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
2.一个圆锥经过轴的截面（称为轴截 面）是边长为2的等边三角形,这个圆 锥的体积为____.