3 3
3 3
3 3
故AT=RT=TC
用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。
如图所示，已知⊙O，AB为直90°
A
B
分u 析uur：要uu证ur∠ACBuu=ur90uu °u r，只须证向
O
量ACCB，即 ACCB0 。
解：设u A u O u ra r,O u u C u rb r则 u A u C u r a r b r ,C u u B u r a r b r，
ER
T
A
B
解：设u A u u B r a r ,u A u u D r b r ,u A u u R r r r ,则 u A uu C ra rb r
由于
uuur AR
与
uuur AC
共线，所以设
r ru r r n (a b ),n R
Qu E u B u ru A u B u ru A u E u ra r1b r
如距离、夹角、共线、垂直等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
例2. 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点， BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、 TC之间的关系吗？
猜想： AR=RT=TC
D
F
C
由此可得：u A u C u rC u u B u ra r b ra r b r
a r2b r2 |a r|2|b r|2r2r2 0
uuu ruu u r 即 ACCB0 ，∠ACB=90°
“垂直问题”
已 知 直 角 三 角 形 的 两 直 角 边 长 为 4 和 6 , 试 用
向 量 方 法 求 两 直 角 边 中 线 所 成 钝 角 的 余 弦 值 .
B
F 4x
u B u E u r 4 2 3 2 5 ,C u u F u r 2 2 6 2 2 1 0
cosu B uE u r,C uuF u ru u B u uu E u rrC u uu u F u ru r 26 13 10 BECF 52 10 50
已 知 直 角 三 角 形 的 两 直 角 边 长 为 4 和 6 , 试 用
1、体会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题 及其他一些实际问题的过程．
2、体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，提高 运算能力和解决实际问题的能力．
3、掌握用向量方法解决实际问题的基本方法；向量方法解决 几何问题的“三步曲”．
自学教材P109—P112 解决下列问题
一、掌握用向量方法解决实际问题的基本方法；向量 方法解决几何问题的“三步曲”． 二、《创新设计》 新知导学. 三、《教材》 P113 习题1、2.
C
A
r
B
解：设 ABa,ADb ，则 A Cab; D Bab
a
22
A2 B B2 C C2 D D2 A 2 (ab)
一 A 2 B C 2 a D b 2 a b 2
般 过 程
⑴选基底，用基底表示有关向量 (基向量法) ⑵ a 找2 几2 a 何b 元b 2 素 间a 2 的2 a 关b 系b ，2 并2 用a 2 向b 量2 运2 算a 2 b 2
向 量 方 法 求 两 直 角 边 中 线 所 成 钝 角 的 余 弦 值 .
法二: 设 u A u B u r a r ,u A u C u r b r ,则 u B u E u r a r 1 b r ,C u u F u r b r 1 a r
1.平面几何中的向量方法
平面几何图像的许多性质如距离、平行、三点共线、 垂直、夹角等几何问题
充分利用向量这个工具来解决
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r D B A B A D , A C A B A D ,
A 2 B B2 C C2 D D 2 A2 C B2D “长度或距离问题”
⑶把运算结果“翻译”成几何关系
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中 涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(基向量法;坐标法) （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，
uuur uuur
2
rD
F
C
又因为 ER与E共B线，
b
E
所以设 u E uR urmu E uB urm(ar1br)
2
因为
u u u r u u u ru u u r A R A E E R
A
R
ar
T B
所以
rr 1brm(ar1br)
2
2
因 此 n (a rb r)1b rm (a r1b r)
2
2
因 此 n (a rb r)1b rm (a r1b r)
2
2
即 (nm )a r(nm 1)b r0 r
Q
r a,
br不共线，
2
rD
F
C
n m 0
n
m 1 2
0
b
ER
T
A
ar B
解得：n=m= 1 3
所 所 以 以 u A u A u u R u r R u r 1 1 u A u A u u C u r C u r ,同 ,同 理 理 T u u T u C u r u C u r 1 1 u A u A u u C u r u C r ,于 ,于 是 是 u R u R u T u u r T u r 1 1 u A u A u u C u r u C r
uuur uuur 1.如四边形ABCD为矩形，试证明 |DB||AC|
2.如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻
边长度之间的关系吗？
D
C
D
C
r b
A
r a
BA
B
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
已求知证：：A 平2 行 四B 边2 形C AB2 C DD 。2 A A 2 C B 2D br D
解法一：如图以AB,AC分别为x轴,
y
C
y轴建立平面直角坐标系,
6
则 A 0 ， 0 ,B 4 ， 0 ,C 0 ， 6 ,
E
易 知 两 中 点 为 E 0 ， 3 ,F 2 ， 0 ,
u u u r u u u r
A
B E 4 ,3 ,C F 2 , 6
u u u r u u u r
O
B E C F 4 2 3 6 2 6