2019届高三理科数学好教育单元训练金卷▪点、线、面的位置关系（B ）解析版附后一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在四面体P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面PAB PBC ，PCA 的距离分别是2，3，6，则M 到P 的距离是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．102．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线a ，a α∥，a β∥ B ．存在一条直线a ，a α⊂，a β∥C ．存在两条平行直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥D ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥3．“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件 A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要4．下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l αβ=，那么⊥l 平面γD ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．已知α，β，γ为互不重合的平面，命题p ：若βα⊥，γβ⊥，则αγ∥；命题q ：若α上不共线的三点到平面β的距离相等，则αβ∥．则下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧B ．q p ∨C ．q p ∧⌝)(D ．)(q p ⌝∨6．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，αβ⊥，则l β⊂ B ．若l α∥，αβ∥，则l β⊂ C ．若l α⊥，αβ∥，则l β⊥D ．若l α∥，αβ⊥，则l β⊥7．右图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中有以下结论：①BM ED ∥；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④8．如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB 、BC 的中点，沿DE 、DF 及EF 把ADE △、CDF △和BEF △折起，使A 、B 、C 三点重合，设重合后的点为P ，则四面体DEF P -中必有（ ）A ．DP ⊥平面PEFB ．DF ⊥平面PEFC ．PE ⊥平面DEFD ．PF ⊥平面DEF9．设α，β为两个不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若αβ∥，l α⊂，则l β∥ ②若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥ ③若l α∥，l β⊥，则αβ⊥ ④若m α⊂，n α⊂，且l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥其中真命题的序号是（ ） A ．①③④B ．①②③C ．①③D ．②④10．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E ，F 分别为线段1AA ，1B C 上的点， 则三棱锥EDF D -1的体积为（ ）A ．31B ．41 C ．61 D ．12111．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11B D 有两个动点E ，F ，且EF ， 则下列结论中错误的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值12．如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -的侧面1AB 内有一动点P 到直线11A B 、BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过P 点的两条直线AC ，BD 分别交α于A ，B ，交β于C ，D ，且6=PA ，9=AC ，8=AB ，则CD 的长为________．14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 、N 分别是棱1CC 、11D C 、D D 1、DC 、BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则满足条件_____时，有MN ∥平面11BDD B ．15．如图是一体积为31的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长为_____．16．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是 ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，三棱柱111C B A ABC -，1A A ⊥底面ABC ，且ABC △为正三角形，D 为AC 中点． （1）求证：直线1AB ∥平面1BC D ， （2）求证：平面1BC D ⊥平面11ACC A ；18．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，⊥BC 平面ABE ，F 为CE 上的点， 且⊥BF 平面ACE ． （1）求证：BE AE ⊥；（2）设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点，求证：MN ∥平面DAE ．19．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，⊥BE 平面ABCD ． （1）证明：平面⊥AEC 平面BED ；（2）若120ABC ∠=︒，EC AE ⊥，三棱锥ACD E -的体积为36，求该三棱锥的侧面积．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，3cm PD DC ==，E 为PC 的中点；（1）证明：PA ∥平面BDE ；（2）在棱PC 上是否存在点F ，使三棱锥C BDF -的体积为33cm ？并说明理由．21．（12分）已知ABCD是边长为a，60∠=︒的菱形，点P为ABCD所在平面外一点，BAD△为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD．PADBG平面PAD；（1）若G为AD边的中点，求证:⊥AD⊥；（2）求证：PBDEF平面ABCD．（3）若E为BC的中点，能否在PC上，找到一点F使平面⊥22．（12分）如图所示，一个棱柱的直观图和三视图，主视图和俯视图是边长为a的正方形，左视图是等腰直角三角形，直角边为a．M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一动点．GN⊥；（1）求证：ACF-的体积；（2）求三棱锥MCEFG=时，证明AG∥平面FMC．（3）当GD好教育单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B）第十五单元点、线、面的位置关系一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】A【解析】由题目的条件可知，M 到P 的距离即为以2、3、6为长、宽、高的长方体的对角线，∴M 到P 7，故选A ． 2．【答案】D【解析】对于A ，B ，C 选项均有可能出现平面α与平面β相交的情况，故选D ． 3．【答案】C【解析】“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”不能推出“直线l 与平面α垂直”；反之，能推出．故条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要非充分条件，选C ． 4．【答案】D【解析】平面α与平面β垂直时，平面α内所有与交线不垂直的直线都与平面β不垂直， 故D 错误，答案为D ． 5．【答案】D【解析】易知p 、q 均为假命题，从而p ⌝、q ⌝均为真命题，所以)(q p ⌝∨为真命题，故选D ． 6．【答案】C【解析】对于A 、B 、D 均可能出现l β∥，根据面面平行的性质可知选项C 是正确的． 7．【答案】D 【解析】展开图可以折成如图所示的正方体，由此可知①②不正确；③④正确．故选D ． 8．【答案】A【解析】折叠前，AE DA ⊥，CF DC ⊥，FB EB ⊥，折叠后这些垂直关系都未发生变化，因此，DP ⊥平面PEF ，故选A ． 9．【答案】C【解析】②是假命题，∵m ，n 不一定相交，∴α，β不一定平行；④是假命题， ∵m ，n 不一定相交，∴l 与α不一定垂直，故选C ． 10．【答案】C【解析】=-EDF D V 11F D ED V -，又112D ED S =△，点F 到面ED D 1的距离为1， ∴111111326D EDF F D ED V V --==⨯⨯=．故选C ．11．【答案】D【解析】∵AC ⊥平面11B BDD ，⊂BE 平面11B BDD ，∴AC BE ⊥，A 正确； 易知EF ∥平面ABCD ，B 正确；设点A 到平面11B BDD 的距离为d ，d 2=，112BEF S EF BB =⨯⨯△， ∴11d 312A BEF BEF V S -=⋅=．所以三棱锥A BEF -的体积为定值．C 正确；故结论中错误的是D ．12．【答案】C 【解析】如图，在平面1AB 内过P 点作PE 垂直于11A B 于E ，连接PB ，∵BC 垂直于侧面1AB ，∴PB BC ⊥， 由题意PE PB =，故P 点在以1BB 的中点O 为顶点，以B 为焦点的抛物线上， 并且该抛物线过A 点，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】4或20【解析】若P 在平面α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB CD ∥，则CDABPC PA =， 可求得20=CD ；若P 在平面α，β之间，同理可求得4=CD ． 14．【答案】M ∈线段FH【解析】∵HN BD ∥，1HF DD ∥，∴平面NHF ∥平面11BDD B ，又平面NHF平面EFGH FH =，故线段FH 上任意点M 与N 相连，有MN ∥平面11BDD B ，故填M ∈线段FH ．15．【答案】32【解析】设正四面体的棱长为a ，则正四面体的高为a h 36=，体积231133V ===，∴223=a ，∴2=a ，∴2132EF =⨯．16．【答案】90︒【解析】取BC 的中点N ，连结AN ，则AN ⊥平面11B BCC ，∴AN BM ⊥．∵正三棱柱111C B A ABC -的棱长都相等，∴11B BCC 是正方形．连结N B 1则易证1B N BM ⊥， ∴BM ⊥平面N AB 1，∴1BM AB ⊥，异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是90︒．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）连结1B C 交1BC 于O ，连结OD ，在1B AC △中，D AC 为中点，O 为1B C 中点，所以1OD AB ∥，又OD ⊂平面1BC D ，∴直线1AB ∥平面1BC D ．（2）∵1A A ⊥底面ABC ，∴1A A BD ⊥． 又BD AC ⊥，∴BD ⊥平面11ACC A又BD ⊂平面1BC D ，∴平面1BC D ⊥平面11ACC A ．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：∵⊥BC 平面ABE ，⊂AE 平面ABE ，∴BC AE ⊥， 又⊥BF 平面ACE ，⊂AE 平面ACE ，∴BF AE ⊥． 又B BC BF = ，∴⊥AE 平面BCE ， 又⊂BE 平面BCE ，∴BE AE ⊥．（2）取DE 的中点P ，连结PA ，PN ，∵点N 为线段CE 的中点，∴PN DC ∥，且DC PN 21=， 又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，∴AM DC ∥，且DC AM 21=， ∴PN AM ∥，且AM PN =，∴四边形AMNP 是平行四边形，∴MN AP ∥，而⊂AP 平面DAE ，⊄MN 平面DAE ，∴MN ∥平面DAE ．19．【答案】（1）见解析；（2）3+【解析】（1）证明：∵⊥BE 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，∴AC BE ⊥． 又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥．∵B BE BD = ， ∴⊥AC 平面BED ，∵⊂AC 平面AEC ，∴平面⊥AEC 平面BED ． （2）∵⊥BE 平面ABCD ，∴AB BE ⊥，BC BE ⊥， ∵BC AB =，∴Rt Rt ABE CBE ≅△△，∴CE AE =． 在Rt ACE △中，22222AE CE AE AC =+=， 又∵22222cos 3AC AB BC AB BC ABC AB =+-⋅∠=，∴2232AB AE =，∴AB AE 26=，∴AB BE 22=，∴111sin 332E ACD ACD V BE S BE AB BC ABC -=⋅=⋅⋅⋅∠△311sin12032AB AB AB =⋅⋅⋅︒=，3AB =，解得2=AB ．∴12ABE CBE S S AB BE ==⨯=△△∵EC ED AE ===2CD AD ==，∴3ACE S =△，DAE CDE S S ==△△所以该三棱锥的侧面积为3ACE DAE CDE S S S ++=+△△△．20．【答案】（1）见解析；（2）存在且F 是线段PC 的靠近P 点的一个三等分点，见解析． 【解析】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，在APC △中，O 、E 分别为AC ，PC 的中点，∴OE ∥PA ； ∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE ； （2）∵侧棱PD ⊥⊥底面ABCD ，∴PD CD ⊥，设F 为PC 上一点，过F 作FG CD ⊥于G ，则FG PD ∥，∴FG ⊥平面ABCD ．若11133333322C BDF F BDC BDC V V S FG FG FG --==⋅=⨯⨯⨯⨯==△，则2FG =，∴在棱PC 上存在点F 使三棱锥C BDF -的体积为33cm ． 且F 是线段PC 的靠近P 点的一个三等分点．21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析． 【解析】（1）连结BD ，则在正三角形ABD 中，AD BG ⊥， 又平面⊥PAD 平面ABCD 于AD ，所以⊥BG 平面PAD ．（2）连结PG ，在正三角形PAD 中，AD PG ⊥，又AD BG ⊥，∴⊥AD 平面PBG ． ∵⊂PB 平面PBG ，∴PB AD ⊥．（3）能在PC 上，找到一点F 使平面⊥DEF 平面ABCD ，且F 为PC 中点． 证明如下：连结ED ，GC 交于点O ，易知O 为GC 的中点，在平面PGC 内，作OF GP ∥，交PC 于点F ，则F 为PC 中点，⊥FO 平面ABCD ， ∴平面⊥DEF 平面ABCD ．22．（12分）如图所示，一个棱柱的直观图和三视图，主视图和俯视图是边长为a 的正方形，左视图是等腰直角三角形，直角边为a ．M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一动点． 【答案】（1）见解析；（2）316a ；（3）见解析．【解析】（1）由三视图可知，多面体是直三棱柱， 且底面是直角边为a 的等腰直角三角形， ∴侧面ABCD ，CDEF 是边长为a 的正方形．连结DN ，因为CD FD ⊥，AD FD ⊥，所以⊥FD 平面ABCD ， ∴AC FD ⊥，又∵DN AC ⊥，∴⊥AC 平面GND ， ∵⊂GN 平面GND ，∴AC GN ⊥．（2）∵⊥AD 平面CEF ，∴2311113326F MCE M CEF CEF V V AD S a a a --==⋅=⨯⨯=△．（3）连结DE 交FC 于Q ，连结QG ，∵Q ，G 分别是FD ，FC 的中点，∴GQ CD ∥，且12GQ CD =，∵M 是AB 的中点，∴AM CD ∥，且CD AM 21=， ∴AM GQ ∥＝，∴AMQC 是平行四边形，∴AG QM ∥，∵⊄AG 平面FMC ．⊂MQ 平面FMC ，∴AG ∥平面FMC ．2019届高三理科数学好教育单元训练金卷▪点、线、面的位置关系（B ）解析版一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在四面体P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面PAB PBC ，PCA 的距离分别是2，3，6，则M 到P 的距离是（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】A【解析】由题目的条件可知，M 到P 的距离即为以2、3、6为长、宽、高的长方体的对角线，∴M 到P 7，故选A ． 2．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线a ，a α∥，a β∥ B ．存在一条直线a ，a α⊂，a β∥C ．存在两条平行直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥D ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥ 【答案】D【解析】对于A ，B ，C 选项均有可能出现平面α与平面β相交的情况，故选D ． 3．“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要【答案】C【解析】“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”不能推出“直线l 与平面α垂直”；反之，能推出．故条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要非充分条件，选C ．4．下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l αβ=，那么⊥l 平面γD ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D【解析】平面α与平面β垂直时，平面α内所有与交线不垂直的直线都与平面β不垂直， 故D 错误，答案为D ．5．已知α，β，γ为互不重合的平面，命题p ：若βα⊥，γβ⊥，则αγ∥；命题q ：若α上不共线的三点到平面β的距离相等，则αβ∥．则下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧ B ．q p ∨C ．q p ∧⌝)(D ．)(q p ⌝∨【答案】D【解析】易知p 、q 均为假命题，从而p ⌝、q ⌝均为真命题，所以)(q p ⌝∨为真命题，故选D ． 6．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，αβ⊥，则l β⊂ B ．若l α∥，αβ∥，则l β⊂ C ．若l α⊥，αβ∥，则l β⊥D ．若l α∥，αβ⊥，则l β⊥【答案】C【解析】对于A 、B 、D 均可能出现l β∥，根据面面平行的性质可知选项C 是正确的． 7．右图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中有以下结论： ①BM ED ∥；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【答案】D 【解析】展开图可以折成如图所示的正方体，由此可知①②不正确；③④正确．故选D ．8．如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB 、BC 的中点，沿DE 、DF 及EF 把ADE △、CDF △和BEF △折起，使A 、B 、C 三点重合，设重合后的点为P ，则四面体DEF P -中必有（ ）A ．DP ⊥平面PEFB ．DF ⊥平面PEFC ．PE ⊥平面DEFD ．PF ⊥平面DEF【答案】A【解析】折叠前，AE DA ⊥，CF DC ⊥，FB EB ⊥，折叠后这些垂直关系都未发生变化，因此，DP ⊥平面PEF ，故选A ．9．设α，β为两个不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若αβ∥，l α⊂，则l β∥ ②若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥③若l α∥，l β⊥，则αβ⊥ ④若m α⊂，n α⊂，且l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥其中真命题的序号是（ ） A ．①③④ B ．①②③C ．①③D ．②④【答案】C【解析】②是假命题，∵m ，n 不一定相交，∴α，β不一定平行；④是假命题， ∵m ，n 不一定相交，∴l 与α不一定垂直，故选C ．10．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E ，F 分别为线段1AA ，1B C 上的点， 则三棱锥EDF D -1的体积为（ ）A ．31B ．41 C ．61 D ．121 【答案】C【解析】=-EDF D V 11F D ED V -，又112D ED S =△，点F 到面ED D 1的距离为1， ∴111111326D EDF F D ED V V --==⨯⨯=．故选C ．11．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11B D 有两个动点E ，F ，且EF ， 则下列结论中错误的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值【答案】D【解析】∵AC ⊥平面11B BDD ，⊂BE 平面11B BDD ，∴AC BE ⊥，A 正确； 易知EF ∥平面ABCD ，B 正确；设点A 到平面11B BDD 的距离为d ，d ，1124BEF S EF BB =⨯⨯=△， ∴11d 312A BEF BEF V S -=⋅=．所以三棱锥A BEF -的体积为定值．C 正确；故结论中错误的是D ．12．如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -的侧面1AB 内有一动点P 到直线11A B 、BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】如图，在平面1AB 内过P 点作PE 垂直于11A B 于E ，连接PB ，∵BC 垂直于侧面1AB ，∴PB BC ⊥，由题意PE PB =，故P 点在以1BB 的中点O 为顶点，以B 为焦点的抛物线上，并且该抛物线过A 点，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过P 点的两条直线AC ，BD 分别交α于A ，B ，交β于C ，D ，且6=PA ，9=AC ，8=AB ，则CD 的长为________． 【答案】4或20【解析】若P 在平面α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB CD ∥，则CDABPC PA =， 可求得20=CD ；若P 在平面α，β之间，同理可求得4=CD ．14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 、N 分别是棱1CC 、11D C 、D D 1、DC 、BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则满足条件_____时，有MN ∥平面11BDD B ．【答案】M ∈线段FH【解析】∵HN BD ∥，1HF DD ∥，∴平面NHF ∥平面11BDD B ，又平面NHF 平面EFGH FH =，故线段FH 上任意点M 与N 相连，有MN ∥平面11BDD B ，故填M ∈线段FH ． 15．如图是一体积为31的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长为_____．【答案】32 【解析】设正四面体的棱长为a ，则正四面体的高为a h 36=，体积23113123V ===，∴223=a ，∴2=a ，∴2132EF =⨯． 16．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是 ．【答案】90︒ 【解析】取BC 的中点N ，连结AN ，则AN ⊥平面11B BCC ，∴AN BM ⊥．∵正三棱柱111C B A ABC -的棱长都相等，∴11B BCC 是正方形．连结N B 1则易证1B N BM ⊥， ∴BM ⊥平面N AB 1，∴1BM AB ⊥，异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是90︒．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，三棱柱111C B A ABC -，1A A ⊥底面ABC ，且ABC △为正三角形，D 为AC 中点． （1）求证：直线1AB ∥平面1BC D ， （2）求证：平面1BC D ⊥平面11ACC A ；【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）连结1B C 交1BC 于O ，连结OD ，在1B AC △中，D AC 为中点，O 为1B C 中点，所以1OD AB ∥，又OD ⊂平面1BC D ，∴直线1AB ∥平面1BC D ． （2）∵1A A ⊥底面ABC ，∴1A A BD ⊥． 又BD AC ⊥，∴BD ⊥平面11ACC A又BD ⊂平面1BC D ，∴平面1BC D ⊥平面11ACC A ．18．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，⊥BC 平面ABE ，F 为CE 上的点， 且⊥BF 平面ACE ． （1）求证：BE AE ⊥；（2）设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点，求证：MN ∥平面DAE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：∵⊥BC 平面ABE ，⊂AE 平面ABE ，∴BC AE ⊥， 又⊥BF 平面ACE ，⊂AE 平面ACE ，∴BF AE ⊥． 又B BC BF = ，∴⊥AE 平面BCE ， 又⊂BE 平面BCE ，∴BE AE ⊥．（2）取DE 的中点P ，连结PA ，PN ，∵点N 为线段CE 的中点，∴PN DC ∥，且DC PN 21=， 又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，∴AM DC ∥，且DC AM 21=， ∴PN AM ∥，且AM PN =，∴四边形AMNP 是平行四边形，∴MN AP ∥，而⊂AP 平面DAE ，⊄MN 平面DAE ，∴MN ∥平面DAE ．19．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，⊥BE 平面ABCD ． （1）证明：平面⊥AEC 平面BED ；（2）若120ABC ∠=︒，EC AE ⊥，三棱锥ACD E -的体积为36，求该三棱锥的侧面积．【答案】（1）见解析；（2）3+．【解析】（1）证明：∵⊥BE 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，∴AC BE ⊥． 又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥．∵B BE BD = ， ∴⊥AC 平面BED ，∵⊂AC 平面AEC ，∴平面⊥AEC 平面BED ． （2）∵⊥BE 平面ABCD ，∴AB BE ⊥，BC BE ⊥， ∵BC AB =，∴Rt Rt ABE CBE ≅△△，∴CE AE =． 在Rt ACE △中，22222AE CE AE AC =+=， 又∵22222cos 3AC AB BC AB BC ABC AB =+-⋅∠=，∴2232AB AE =，∴AB AE 26=，∴AB BE 22=， ∴111sin 332E ACD ACD V BE S BE AB BC ABC -=⋅=⋅⋅⋅∠△311sin12032AB AB AB =⋅⋅⋅︒=，3AB =，解得2=AB ．∴12ABE CBE S S AB BE ==⨯=△△∵EC ED AE ===2CD AD ==，∴3ACE S =△，DAE CDE S S ==△△所以该三棱锥的侧面积为3ACE DAE CDE S S S ++=+△△△．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，3cm PD DC ==，E 为PC 的中点；（1）证明：PA ∥平面BDE ；（2）在棱PC 上是否存在点F ，使三棱锥C BDF -的体积为33cm ？并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在且F 是线段PC 的靠近P 点的一个三等分点，见解析． 【解析】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，在APC △中，O 、E 分别为AC ，PC 的中点，∴OE ∥PA ； ∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE ； （2）∵侧棱PD ⊥⊥底面ABCD ，∴PD CD ⊥，设F 为PC 上一点，过F 作FG CD ⊥于G ，则FG PD ∥，∴FG ⊥平面ABCD ．若11133333322C BDF F BDC BDC V V S FG FG FG --==⋅=⨯⨯⨯⨯==△，则2FG =，∴在棱PC 上存在点F 使三棱锥C BDF -的体积为33cm ． 且F 是线段PC 的靠近P 点的一个三等分点．21．（12分）已知ABCD 是边长为a ，60BAD ∠=︒的菱形，点P 为ABCD 所在平面外一点，PAD △为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD ． （1）若G 为AD 边的中点，求证：⊥BG 平面PAD ；（2）求证：PB AD ⊥；（3）若E 为BC 的中点，能否在PC 上，找到一点F 使平面⊥DEF 平面ABCD ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析． 【解析】（1）连结BD ，则在正三角形ABD 中，AD BG ⊥， 又平面⊥PAD 平面ABCD 于AD ，所以⊥BG 平面PAD ．（2）连结PG ，在正三角形PAD 中，AD PG ⊥，又AD BG ⊥，∴⊥AD 平面PBG ． ∵⊂PB 平面PBG ，∴PB AD ⊥．（3）能在PC 上，找到一点F 使平面⊥DEF 平面ABCD ，且F 为PC 中点． 证明如下：连结ED ，GC 交于点O ，易知O 为GC 的中点，在平面PGC 内，作OF GP ∥，交PC 于点F ，则F 为PC 中点，⊥FO 平面ABCD ， ∴平面⊥DEF 平面ABCD ．22．（12分）如图所示，一个棱柱的直观图和三视图，主视图和俯视图是边长为a 的正方形，左视图是等腰直角三角形，直角边为a ．M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一动点．（1）求证：AC GN ⊥； （2）求三棱锥MCE F -的体积；（3）当GD FG =时，证明AG ∥平面FMC ．【答案】（1）见解析；（2）316a ；（3）见解析．【解析】（1）由三视图可知，多面体是直三棱柱， 且底面是直角边为a 的等腰直角三角形， ∴侧面ABCD ，CDEF 是边长为a 的正方形．连结DN ，因为CD FD ⊥，AD FD ⊥，所以⊥FD 平面ABCD ， ∴AC FD ⊥，又∵DN AC ⊥，∴⊥AC 平面GND ， ∵⊂GN 平面GND ，∴AC GN ⊥．（2）∵⊥AD 平面CEF ，∴2311113326F MCE M CEF CEF V V AD S a a a --==⋅=⨯⨯=△．（3）连结DE 交FC 于Q ，连结QG ，∵Q ，G 分别是FD ，FC 的中点，∴GQ CD ∥，且12GQ CD =，∵M 是AB 的中点，∴AM CD ∥，且CD AM 21=， ∴AM GQ ∥＝，∴AMQC 是平行四边形，∴AG QM ∥，∵⊄AG 平面FMC ．⊂MQ 平面FMC ，∴AG ∥平面FMC ．。