课时作业(二)
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则
lim Δx→0f x0－Δx－f x0
Δx
＝( )
A．11 B．－11
C.1
11
D．－
1
11
答案 B
2．函数f(x)在x＝0可导，则lim
h→a f h－f a
h－a
＝( )
A．f(a) B．f′(a) C．f′(h) D．f(h) 答案 B
3．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近点(1＋Δx,2＋Δy)，则lim
Δx→0Δy Δx
＝
( )
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋Δx2答案 A
4．设f(x)为可导函数，且满足lim
x→0f1－f1－2x
2x
＝－1，则f′(1)的值为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
答案 B
二、填空题
5．一个物体的运动方程为S＝1－t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________．
答案5米/秒
6．函数y＝(3x－1)2在x＝x0处的导数为0，则x0＝________.
答案1 3
解析Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(3x0＋3Δx－1)2－(3x0－1)2＝18x0Δx＋9(Δx)2－6Δx，
∴Δy
Δx
＝18x0＋
9Δx－6.
∴li m
Δx→0
Δy
Δx
＝18x0－6＝0，∴x0＝
1
3
.
7．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
答案 2
解析Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝a(1＋Δx)＋4－a－4＝aΔx.
∴f′(1)＝li m
Δx→0
Δy
Δx
＝li m
Δx→0
a＝a.
又f′(1)＝2，∴a＝2.
8．质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M的瞬时速度等于8 m/s时的时刻t的值为________．
答案 2
解析设时刻t的值为t0，则
Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝2(t0＋Δt)2＋3－2t20－3
＝4t0·Δt＋2·(Δt)2，
Δs
Δt
＝4t0＋2Δt，lim
Δt→0
Δs
Δt
＝4t0＝8，∴t0＝2(s)．
9．已知f(x)＝
1
x
，则lim
Δx→0
f2＋Δx－f2
Δx
的值是________．
答案－
1
4
10.
如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，
则
f (f (0))＝________；
lim Δx →0
f 1＋Δx －f 1
Δx
＝______.
答案 2；－2 三、解答题
11．设f (x )＝x 2
，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)． 答案 f ′(x 0)＝2x 0，f ′(－1)＝－2，f ′(2)＝4
12．某物体运动规律是S ＝t 2
－4t ＋5，问什么时候此物体的瞬时速度为0? 答案 t ＝2
解析 ΔS ＝(t ＋Δt )2
－4(t ＋Δt )＋5－(t 2
－4t ＋5) ＝2tΔt ＋(Δt )2
－4Δt ，
v ＝li m Δt →0
ΔS
Δt
＝2t －4＝0，∴t ＝2.
13．若f ′(x 0)＝2，求li m k →0
f x 0－k －f x 0
2k
的值．
解析 令－k ＝Δx ，∵k →0，∴Δx →0. 则原式可变形为li m Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
－2Δx
＝－12
li m Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
＝－12f ′(x 0)＝－1
2×2＝－1.
►重点班·选做题
14．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)
s ＝⎩⎪⎨⎪⎧
3t 2
＋2 t ≥3， ①
29＋3t －32
0≤t <3
. ②
求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．
解析 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为
Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为
Δs Δt ＝48
2
＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为
Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt
＝
29＋3[0＋Δt －3]2
－29－30－3
2
Δt
＝3Δt －18，
∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为lim Δt →0
Δs
Δt
＝lim Δt →0
(3Δt －18)＝－18，即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为
Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt
＝
29＋3[1＋Δt －3]2
－29－31－3
2
Δt
＝3Δt －12，
∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为 lim Δt →0
Δs
Δt
＝lim Δt →0
(3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1时的速度为－12 m/s.。