苏科初二数学下学期期末考试试题一、解答题1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．2．自2009年以来，“中国•兴化千垛菜花旅游节”享誉全国．“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”所描绘的就是我市发达的油菜种植业．为了解某品种油菜籽的发芽情况，农业部门从该品种油菜籽中抽取了6批，在相同条件下进行发芽试验，有关数据如表：批次123456油菜籽粒100400800100020005000数发芽油菜a31865279316044005籽粒数发芽频率0.8500.7950.8150.793b0.801（1）分别求a和b的值；（2）请根据以上数据，直接写出该品种油菜籽发芽概率的估计值（精确到0.1）；（3）农业部门抽取的第7批油菜籽共有6000粒．请你根据问题（2）的结果，通过计算来估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数．3．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AD上，且AE=DF求证：四边形BECF是平行四边形．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．5．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DFA的大小；（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．6．已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．求证：四边形BFDE是平行四边形．7．如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．（1）求证：△ABE≌△CDF ；（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.8．如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．9．已知：如图，AC、BD相交于点O，且点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD的形外，且∠AEC＝∠BED＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．10．如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形,已知点A(-6,0),D(-7,3)，点B、C在第二象限内．(1)点B的坐标；(2)将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒,若存在某一时刻t,使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；(3)在(2)的情况下,问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q,使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO上，且BE ∥DF ，AE ＝CF ．求证：四边形ABCD 为平行四边形．12．如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别在边CB 、AD 的延长线上，且BE ＝DF ，EF 分别与AB ，CD 交于点G ，H ，则BG 与DH 有怎样数量关系？证明你的结论．13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，BE 平分∠ABC ，试判断四边形DBFE 的形状，并说明理由．14．解方程（1）22(1)1x x +=+ （2）22310x x ++=（配方法） 15．阅读下列材料：已知：实数x 、y 满足22320.25x xy x x +=++(0.75)x ≠-，求y 的最大值． 解：将原等式转化成x 的方程，得21(3)(2)04y x y x y -+-+=①． 若3y =，代入①得0.75x =-，0.75x ≠-，3y ∴≠，因此①必为一元二次方程．21(2)4(3)404y y y y ∴∆=---⨯=-+≥，解得4y ≤，即y 的最大值为4． 根据材料给你的启示，解决下面问题：已知实数x 、y 满足223221x x y x x ++=++15x ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭，求y 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．解：（1）如图所示：点A 1的坐标（2，﹣4）． （2）如图所示，点A 2的坐标（﹣2，4）．【解析】试题分析：（1）分别找出A 、B 、C 三点关于x 轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A 点坐标．（2）将△A 1B 1C 1中的各点A 1、B 1、C 1绕原点O 旋转180°后，得到相应的对应点A 2、B 2、C 2，连接各对应点即得△A 2B 2C 2． 2．（1）85a ，0.802b =；（2）0.8；（3）4800【分析】（1）用油菜籽粒数乘以发芽频率求得a 的值，用发芽油菜籽粒数除以油菜籽总数即可求得b 的值．（2）观察大量重复试验发芽的频率稳定到哪个常数附近即可用哪个数表示发芽概率． （3）用油菜籽总数乘以发芽概率即可求得发芽粒数． 【详解】（1）1000.85085a =⨯=，16040.8022000b ==； （2）∵观察表格发现发芽频率逐渐稳定到0.8附近， ∴该品种油菜籽发芽概率的估计值为0.8； （3）60000.8=4800⨯，故估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数为4800． 【点睛】本题考查统计与概率，解题关键在于信息筛选能力，对频率计算公式的理解，其次注意计算仔细即可． 3．证明见解析. 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形式平行四边形，可得证明结论． 【详解】如答图，连接BC，设对角线交于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OD，OB=OC．∵AE=DF，OA﹣AE=OD﹣DF，∴OE=OF．∴四边形BEDF是平行四边形．4．（1）详见解析；（2）24【分析】（1）可先证得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD，可证得结论；（2）将菱形ADCF的面积转换成△ABC的面积，再用S△ABC的面积=12AB•AC，结合条件可求得答案．【详解】（1）证明：∵E是AD的中点∴AE＝DE∵AF∥BC∴∠AFE＝∠DBE在△AEF和△DEB中AFE DBEDEB AEF AE DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF≌△DEB（AAS）∴AF＝DB∵D是BC的中点∴BD=CD=AF∴四边形ADCF是平行四边形∵∠BAC＝90°，∴AD＝CD＝12 BC∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8∴S菱形ADCF＝CD•h＝12BC•h＝S△ABC＝12AB•AC＝168242⨯⨯=．【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．5．（1）10°；（2）135DFA α∠=︒-；（3）∠BEA ＝∠FEA ，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形的内角和解答即可； （2）根据正方形的性质和三角形内角和解答即可；（3）延长CB 至I ，使BI ＝DF ，根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠EBA ＝∠BAD ＝90°，∴∠EAB ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣55°＝35°，∴∠HAD ＝∠BAD ﹣∠EAF ﹣∠EAB ＝90°﹣45°﹣35°＝10°； （2）∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠EBA ＝∠BAD ＝∠ADF ＝90°， ∴∠EAB ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣α，∴∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ﹣∠EAB ＝()90459045αα︒-︒-︒--︒＝， ∴∠DFA ＝90°﹣∠DAF ＝()9045α︒--︒＝135°﹣α； （3）∠BEA ＝∠FEA ，理由如下：延长CB 至I ，使BI ＝DF ，连接AI ． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝AB ，∠ADF ＝∠ABC ＝90°， ∴∠ABI ＝90°， 又∵BI ＝DF ，∴△DAF ≌△BAI （SAS ）， ∴AF ＝AI ，∠DAF ＝∠BAI ，∴∠EAI ＝∠BAI +∠BAE ＝∠DAF +∠BAE ＝45°＝∠EAF ， 又∵AE 是△EAI 与△EAF 的公共边， ∴△EAI ≌△EAF （SAS ）， ∴∠BEA ＝∠FEA ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形外角性质及全等三角形，关键是根据正方形的性质及外角和性质得到角之间的关系，然后求解．【分析】先根据平行四边形的性质，得出ED ∥BF ，再结合已知条件∠ABE ＝∠CDF 推断出EB ∥DF ，即可证明． 【详解】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠ADF ＝∠DFC ，ED ∥BF ， ∵∠ABE ＝∠CDF ，∴∠ABC －∠ABE ＝∠ADC －∠CDF ，即∠EBC ＝∠ADF ， ∴∠EBC ＝∠DFC ， ∴EB ∥DF ，∴四边形BFDE 是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和平行四边形的判定定理，掌握知识点是解题关键． 7．（1）见解析；（2）2AC AB =时,四边形EGCF 是矩形，理由见解析. 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF ，证出BE=DF ，由SAS 证明△ABE ≌△CDF 即可；（2）证出AB=OA ，由等腰三角形的性质得出AG ⊥OB ，∠OEG=90°，同理：CF ⊥OD ，得出EG ∥CF ，由三角形中位线定理得出OE ∥CG ，EF ∥CG ，得出四边形EGCF 是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ， ∴∠ABE=∠CDF ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点， ∴BE=12OB ，DF=12OD ， ∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CDF SAS ∴≅（2）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形；理由如下： ∵AC=2OA ，AC=2AB ， ∴AB=OA ， ∵E 是OB 的中点，∴∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG=AE，OA=OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG=90°，∴四边形EGCF是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.8．当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．证明见解析.【分析】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF，而OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．【详解】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．证明：如图，∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠1+∠5=∠2+∠4，又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、平行四边形的判定、矩形的判定．解题的关键是利用对角线互相平分的四边形是平行四边形开证明四边形AECF是平行四边形，并证明∠ECF是90°．9．见解析【分析】连接EO，证四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EO＝12AC，在Rt△EBD中，EO＝12BD，得到AC＝BD，即可得出结论．【详解】证明：连接EO，如图所示：∵O是AC、BD的中点，∴AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO＝12 BD，在Rt△AEC中，∵O为AC的中点，∴EO＝12 AC，∴AC＝BD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．【点睛】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．10．（1）（31-，）；（2）t=9，6y x =；（3）点P 、Q 的坐标为：P （132，0）、Q （32，4）或P （7，0）、Q （3，2）或P （-7，0）、Q （-3，-2）． 【分析】（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE ≌△BAF ，从而得出DE=AF ，AE=BF ，再结合点A 、D 的坐标即可求出点B 的坐标；（2）设反比例函数为k y x=，根据平行的性质找出点B ′、D ′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k 、t 的二元一次方程组，解方程组解得出结论；（3）假设存在，设点P 的坐标为（m ，0），点Q 的坐标为（n ，6n ）．分B ′D ′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m 、n 的方程组，解方程组即可得出结论．【详解】解：（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，如图1所示．∵四边形ABCD 为正方形，∴AD=AB ，∠BAD=90°，∵∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF ．在△ADE 和△BAF 中，有90AED BFA ADE BAF AD BA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BAF （AAS ），∴DE=AF ，AE=BF ．∵点A （-6，0），D （-7，3），∴DE=3，AE=1，∴点B的坐标为（-6+3，0+1），即（-3，1）．故答案为：（-3，1）．（2）设反比例函数为k yx=，由题意得：点B′坐标为（-3+t，1），点D′坐标为（-7+t，3），∵点B′和D′在该比例函数图象上，∴33(7)k tk t=-+⎧⎨=⨯-+⎩，解得：t=9，k=6，∴反比例函数解析式为6yx=．（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，6n）．以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：①B′D′为对角线时，∵四边形B′PD′Q为平行四边形，∴63162nm n⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩，解得：13232mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴P（132，0），Q（32，4）；②当B′D′为边时．∵四边形PQB′D′为平行四边形，∴626031m nn-=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得：73mn=⎧⎨=⎩，∴P（7，0），Q（3，2）；∵四边形B′QPD′为平行四边形，∴626031n mn-=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得：73mn=-⎧⎨=-⎩．综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、Q的坐标为：P（132，0）、Q（32，4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键．11．见解析【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理以及平行四边形的判定即可得到结论．【详解】证明：∵BE∥DF，∴∠BEO＝∠DFO，在△BEO与△DFO中，BEO DFO BO DOBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BEO≌△DFO（ASA），∴EO＝FO，∵AE＝CF，∴AE+EO＝CF+FO，即AO＝CO，∵BO＝DO，∴四边形ABCD为平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．12．见解析【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，根据平行线的性质证明∠E＝∠F，角边角证明△AFG≌△CEH，其性质得AG＝CH，进而可证明BG＝DH．【详解】BG ＝DH ，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，AB ＝DC ，∴∠E ＝∠F ，又∵BE ＝DF ，AF ＝AD +DF ，CE ＝CB +BE ，∴AF ＝CE ，在△CEH 和△AFG 中，A C AF CE F E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AFG ≌△CEH （ASA ），∴AG ＝CH ，∴BG ＝DH ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键．13．菱形，理由见解析【分析】根据平行四边形的判定得出四边形BDEF 是平行四边形，再利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定得出DE ＝BD ，进而利用菱形的判定解答即可．【详解】四边形DBFE 是菱形，理由如下：∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DBEF 是平行四边形，∴DE ∥BC ，∴∠DEB ＝∠EBF ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBF ，∴∠DBE ＝∠DEB ，∴BD ＝DE ，∴平行四边形DBEF 是菱形．【点睛】此题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形的判定得出四边形BDEF 是平行四边形解答．14．（1）11x =-，212x =-；（2）11x =-，212x =- 【分析】（1）移项，提取公因式1x +，利用因式分解法求解即可；（2）移项，方程左右两边同时除以2后，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．【详解】（1）22(1)1x x +=+，移项得：22(1)10()x x -++=，提取公因式1x +得：121)()(0x x ++=，可得：10x +=或210x +=， 解得：12112x x =-=-，； （2）22310x x ++=， 原方程化为：23122x x +=-， 配方得：22233132424x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即231()416x +=， 开方得：3144x +=±， 解得：12112x x =-=-，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法及配方法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．15．2316【分析】 类比阅读材料给出的方法，分类探讨得出函数的最小值即可．【详解】解：将原等式转化成关于x 的方程，得：2(3)(21)(2)0y x y x y -+-+-=①，若3y =，代入①得15x =-， ∵15x ≠-， ∴3y ≠，因此①必为一元二次方程．∵3a y =-，21b y =-，2c y =+，∴224(21)4(3)(2)0b ac y y y ∆=-=----≥， 解得：2316y ≥且3y ≠． ∴y 的最小值为2316．【点睛】本题考查了根的判别式的运用，把函数转化为关于x的方程，根据系数的取值范围，结合根的判别式，分类探讨得出答案即可．。