几何计算说理与说理计算问题【真题典藏】1. （2007年上海市第24题）参见《考典35 梯形的存在性问题》第1题，如图1．2. （2008年上海市第24题）如图2，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图像经过点A (－1,0)，顶点为B ．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点B 的坐标；（2）如果点C 的坐标为(4,0)，AE ⊥BC ，垂足为点E ，点D 在直线AE 上，DE ＝1，求点D 的坐标．图1 图23．（2010年上海市第24题）如图3，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A (4,0)、B (1,3)．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P (m ,n )在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值．图34．（2012年上海市第24题）如图4，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋6x ＋c 的图像经过点A (4, 0)、B (－1,0)，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD ＝t ，点E 在第二象限，∠ADE ＝90°，1tan 2DAE ∠=，EF ⊥OD ，垂足为F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当∠ECA ＝∠OAC 时，求t 的值．图4【满分攻略】我们用三种方法证明第1题（2007年上海市第24题）的第（2）题DC //AB ：方法一，由于点(,)B a b 在双曲线4y x =上，所以4b a=． 因为1A B x DE DB x a ==，414E A y CE a CA y a===，所以DE CE DB CA =，因此DC //AB ． 这里依据“三角形一边的平行线判定定理推论”． 方法二，因为4tan E E y CE CDE DE x a ∠===，444tan 1A E B E y y AE a ABE BE x x a a --∠====--， 所以CDE ABE ∠=∠，因此DC //AB ．方法三，如图6，由反比例函数的图形与性质，知△AOC 与△BOD 的面积相等．图5中的△ADC 与图6中的△AOC 的面积相等，图5中的△BCD 与图6中的△BOD 的面积相等，经过等量代换，图5中的△ACD 与△BCD 的面积相等．因为这两个三角形是同底CD 的，因此它们是同底等高的三角形，所以DC //AB ．图5 图6 图7其中方法一和方法二是通过计算进行说理，方法三是说理证明．第2题（2008年上海市第24题）的第（2）题求点D 的坐标是几何计算．准备动作：22223(214)(1)4y x x x x x =-++=--+-=--+．罗列点：A (－1,0)，B (1,4)，C (4,0)．画图：先画直线BC ，过点A 向BC 画垂线，垂足为E ．拿起圆规，以E 为圆心，1长为半径画圆，圆与直线AE 有几个交点？这就是行动体现思想，你画图的过程已经体现了分类讨论思想，点D 有两个（如图7）．试问有必要画抛物线吗？解题的过程反复用到数形结合思想——不要问为什么——拿来就用．示范一下：注意标志性语句的引领作用，体现书写的层次性，吸引阅卷老师的注意力．第3题（2010年上海市第24题）的第（1）题做完之后停一停，确认无误之后再作第（2）题，否则就是徒劳无益．第（1）题用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求抛物线的对称轴和顶点坐标，无需画图．抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2,4)．第（2）题的最大障碍就是画示意图了，事实上，无需画出抛物线，如图8，只要顺次画出点A、对称轴、点P的大概位置（在点A的右下方）、点E、点F，就可以直观感受到，四边形OAPE是等腰梯形，四边形OAPF是平行四边形．说理是关键的一步：平行四边形OAPF的底边OA＝4是确定的，高是点P到x轴的距离，用点P的纵坐标表示为－n，列方程－4 n＝20容易求的n＝－5．解方程－m2＋4m＝－5，会得到m有两个解，根据题目条件“点P(m,n)在第四象限”舍去不合题意的解．如果不用上述几何说理的方法，我们也可以根据点的坐标特征进行说理：这个说理方法的最大困难是用m表示点F的坐标(4－m,n)．图8第4题（2012年上海市第24题），DE和AD横看成岭侧成峰，DE∶AD＝1∶2，既是Rt △ADE的两条直角边的比，也是两个相似的△DEF和△ADO的斜边比．第（1）题求得抛物线的解析式y＝－2x2＋6x＋8，与y轴交于点C(0，8)．第（2）题，如图9，在Rt △ADE 中，已知1tan 2DAE ∠=，所以12DE AD =． 已知∠ADE ＝∠EFD ＝90°，所以∠DEF 与∠ADO 都是∠EDF 的余角．因此∠DEF ＝∠ADO ．所以△DEF ∽△ADO ．因此12DF EF DE AO DO AD ===，即142DF EF t ==． 于是得到2DF =，12EF t =．所以2OF t =-．图9 图10第（3）题难在示意图怎么画？在森林中认识树木：当∠ECA ＝∠OAC 时，如果延长CE 与x 轴交于点M ，根据等角对等边，那么△MAC 是等腰三角形，MA ＝MC ．这样我们作AC 的垂直平分线先找到点M ，在MC 的适当位置画一个点E ，这样示意图就画好了．如图10，设AC 的垂直平分线与x 轴交于点M ，那么MA ＝MC ，∠MCA ＝∠MAC ．当∠ECA ＝∠OAC 时，点E 在MC 上． 由于12cos AC AO A AC MA==，而OA ＝4，OC ＝8，所以45AC =． 因此2102AC MA AO==．所以MO ＝6． 由EF //MO ，得EF CF MO CO =，即18(2)268t t --=．解得t ＝6．考典40几何计算说理与说理计算问题1．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋6x ＋c 的图像经过点A (4, 0)、B (－1,0)，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD ＝t ，点E 在第二象限，∠ADE ＝90°，1tan 2DAE ∠=，EF ⊥OD ，垂足为F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当∠ECA ＝∠OAC 时，求t 的值．图12．如图2，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 到∠ACB 两边的距离相等，且PA ＝PB ．（1）先用尺规作出符合要求的点P （保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP 的形状，并说明理由；（2）设PA ＝m ，PC ＝n ，试用m 、n 的代数式表示△ABC 的周长和面积；（3）设CP 与AB 交于点D ，试探索当边AC 、BC 的长度变化时，BCCD AC CD +的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由． C B A图23．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动．同时动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）△PBM与△QNM相似吗？以图3为例说明理由；（2）若∠ABC＝60°，43AB 厘米．①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S(平方厘米)，求S与t的函数关系式；（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图3为例说明理由．图34．在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，∠B＝90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点M处，将三角板绕点M旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E 两点(假设三角板的两直角边足够长)，如图4、图5表示三角板旋转过程中的两种情形．（1）直角三角板绕点M旋转过程中，当BE＝时，△MEC是等腰三角形；（2）直角三角板绕点M旋转到图1的情形时，求证：MD＝ME；（3）如图6，若将直角三角板的直角顶点M在斜边AC上移动，设AM∶MC＝m∶n(m、n 为正数)，试判断MD、ME的数量关系，并说明理由．图4 图5 图6考典40几何计算说理与说理计算问题1．（1）y ＝－2x 2＋6x ＋8．（2）如图1，在Rt △ADE 中，已知1tan 2DAE ∠=，所以12DE AD =． 已知∠ADE ＝∠EFD ＝90°，所以∠DEF 与∠ADO 都是∠EDF 的余角． 因此∠DEF ＝∠ADO ．所以△DEF ∽△ADO ．因此12DF EF DE AO DO AD ===，即142DF EF t ==． 于是得到2DF =，12EF t =．所以2OF t =-．图1 图2（3）如图2，设AC 的垂直平分线与x 轴交于点M ，那么MA ＝MC ，∠MCA ＝∠MAC ． 当∠ECA ＝∠OAC 时，点E 在MC 上． 由于12cos AC AO A AC MA==，而OA ＝4，OC ＝8，所以45AC =． 因此2102AC MA AO==．所以MO ＝6． 由EF //MO ，得EF CF MO CO =，即18(2)268t t --=．解得t ＝6． 2．（1）求作点P 的作图痕迹如图3所示．△PAB 是等腰直角三角形，证明如下： 作PM ⊥AC ，PN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ．因为点P 在∠ACB 的平分线上，所以PM ＝PN ．又因为PA ＝PB ，所以Rt △APM ≌Rt △BPN （HL ）．因此∠1＝∠2．又因为∠2与∠BPM 互余，所以∠1与∠BPM 互余，即∠APB ＝90°．所以△PAB 是等腰直角三角形．（2）如图4，在等腰直角三角形PAB 中，PA ＝m ，所以AB ＝2m ．在等腰直角三角形MPC 中，PC ＝n ，所以CM ＝22n ． 由Rt △APM ≌Rt △BPN ，得AM ＝BN ．所以CA ＋CB ＝2CM ＝2n ．因此△ABC 的周长＝AB ＋CA ＋CB ＝2m ＋2n ．△ABC 的面积可以这样割补：S △ABC ＝S 正方形MPNC －S △PAB 221122n m =-． （3）如图5，作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，那么四边形CEDF 是正方形，CD ＝2DE ＝2DF ．设AD ＝x ，BD ＝y ． 由DF BD y AC BA x y ==+，DE AD x BC AB x y==+，两式相加，得1DF DE AC BC +=． 于是得到2CD CD AC BC +=．图3 图4 图53．（1）如图6，∠B 与∠1都是∠C 的余角，所以∠B ＝∠1．∠BMP 与∠NMQ 都是∠PMN 的余角，所以∠BMP ＝∠NMQ ．所以△PBM ∽△QNM ．（2）①当∠ABC ＝60°时，∠C ＝30°，cot 3CM C NM ∠==． 由△PBM ∽△QNM ，得BM BP NM NQ =． 而已知BM ＝CM ，所以3BP NQ=． 因为3BP t =，所以NQ ＝t ．因此点Q 的运动速度为每秒1厘米．②在Rt △ABC 中，∠B ＝60°，43AB =，所以AC ＝12，83BC =．在Rt △CMN 中，43BC =，∠C ＝30°，所以CN ＝8． 因此AN ＝4，AQ ＝4＋t ．如图7，当P 在BA 上时，0≤t ≤4，433AP t =-． 此时2113(433)(4)83222S AP AQ t t t =⋅=-+=-+． 如图8，当P 在BA 的延长线上时， t ＞4，343AP t =-． 此时2113(343)(4)83222S AP AQ t t t =⋅=-+=-．图6 图7 图8（3）如图9，过点C 作AB 的平行线交BM 的延长线于P ′， 那么△QCP ′是直角三角形，P ′Q 2＝P ′C 2＋CQ 2．因为P ′C //AB ，M 是BC 的中点，所以BP ＝CP ′，PM ＝P ′M ． 所以QM 垂直平分PP ′，PQ ＝P ′Q ．于是得到PQ 2＝BP 2＋CQ 2．图9第（3）题容易想到代数方法，通过计算得到结论：222222(433)(4)41664PQ AP AQ t t t t =+=-++=-+，222(3)3BP t t ==，222(124)1664CQ t t t =--=-+．所以PQ 2＝BP 2＋CQ 2．4．（1）0，2，422-或422+．（2）如图10，△MGD ≌△MHE ，MD ＝ME ．（3）如图11，△AGM 和△MHC 都是等腰直角三角形，Rt △AGM ∽Rt △MHC ． 因此MG MA m MH MC n==．又因为△MGD ∽△MHE ，所以MD MG m ME MH n ==．图10图11后叙一、这不是一本中考的试题集，这是一本关于中考解题策略的书，如叙家常．二、本书分三部分，我们把每一部分概论中的第一句话摘录如下：简单题错失一道将悔恨不已，因此要加强简单题的准确性训练．简答题丢失一步将满分无望，因此要加强简答题的规范性训练．压轴题多练一道就自信一分，因此要加强压轴题的规律性训练．三、我们摘录每一部分的高频词语和经典语句：第一部分的高频词语有：粗心，不要口算，即刻回头检查．第二部分的经典语句有：没有不会的，只有不对的；重温课本；想好了再写——时间诚可贵，答对价更高；标志性语句的引领，表明书写的层次，吸引阅卷老师的眼球；踩分点；中考的版面有限，不能写到框外，要注意扑捉命题意图哦！第三部分的经典语句有：导航仪不代表体力——想的对不等于能做对；拿起尺、规画图，答案就在图形中；你的思想还不成熟——数形结合思想，分类讨论思想；歇歇脚再走，否则徒劳无益．四、一位上高一的学生来看我，说他离梦想的那所市重点高中就差0.5分，要是再降1分，他肯定被录取了．我笑笑．他纳闷．我解释说，例如数学，上海考生约10万人，减去极端高分和极端低分2万人，那么分数集中在100—140分之间的40分，平均每分2000人．中考1分意味着什么呢？五、这本书剖析近6年的中考数学题目——应该注意的问题、容易出现的失误、思维的出发点、书写的规范——你标记了多少认同的地方？六、本书最牛的一句话——选择放弃也是一种好的策略，保证其他题目准确无误也是高分——压轴题中你不会的那道小题，可能绝大多数人都不会．例如2012年最后两道压轴题皆因辅助线而难倒众生，其实第25题第（2）题需要添加的辅助线，本来是常见的联结两个中点构造三角形的中位线，但是因为图形中其它线条的干扰，使众多考生没有发现这条辅助线．如果添加了这条辅助线，那么问题一下子就解决了．七、或许你做对了，但是你写的字让人误解或者费解，吃亏的不是别人．这句话开始说过，这里再说一次；这句话语文老师一定也说过，理化和英语老师同样说过．八、好运留给有准备的人——祝你好运！。