2020-2021学年辽宁省实验中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（5分）若O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则( )A ．OA ，OB ，OC 共线 B ．OA ，OB 共线 C ．OB ，OC 共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面2．（5分）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为( ) A ．77AB ．4343A A + C ．4343A A D ．4345A A3．（5分）已知ABC ∆的顶点分别为(1A ，1-，2)，(5B ，6-，2)，(1C ，3，1)-，则AC 边上的高BD 等于( ) A ．3B ．4C ．5D ．64．（5分）如图所示，设E 、F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱CD 上两点，且2AB =，1EF =，其中正确的命题为( )A ．异面直线11B D 与EF 所成的角为45︒ B ．异面直线11B D 与EF 所成的角为30︒C ．直线11BD 与平面1B EF 所成的角为45︒ D ．直线11B D 与平面1B EF 所成的角为60︒5．（5分）在50(2[3]3)的展开式中有理项的项数是( ) A ．9B ．8C ．7D ．66．（5分）已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,3)A -，(2,1)B --，(6,1)C -，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为( ) A ．221x y += B ．224x y +=C ．22165x y +=D ．221x y +=或2237x y +=7．（5分）已知抛物线24y x =上的点P 到2x =-的距离为1d ，到直线3490x y -+=的距离为2d ，则12d d +的最小值是( ) A ．175B ．115C ．3D ．5 8．（5分）已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且2||||AF CF =，则该双曲线的离心率是( )A ．53B 17C 17D ．94二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分） 9．（5分）过点(2,3)P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程为( ) A ．50x y +-=B ．240x y +-=C ．320x y -=D ．4250x y -+=10．（5分）正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论正确的有( ) A ．AD 与BC 所成的角为30︒ B ．AC 与BD 所成的角为90︒C ．BC 与面ACD 3D ．平面ABC 与平面BCD 211．（5分）在8(21)x -的展开式中，下列说法正确的有( ) A ．展开式中所有项的系数和为82B ．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C ．展开式中二项式系数的最大项为第五项D ．展开式中含3x 项的系数为448-12．（5分）设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(03)y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则下述结论正确的是( ) A ．AF BF +为定值B ．ABF ∆的周长的取值范围是[6，12]C ．当2m =时，ABF ∆ 为直角三角形D ．当1m =时，ABF ∆ 的面积为6三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN = ．14．（5分）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点．用AB ，AD ，1OA 表示1OC ，则1OC = ．15．（5分）某地区高考改革，实行“321++”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 .（用数字作答）16．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，点0(P x ，0)y 是直线20bx ay a -+=上任意点，若圆2200()()1x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知7270127(1)mx a a x a x a x +=+++⋯+中，且335a =-．（1）求m 的值；（2）求1357||||||||a a a a +++的值．18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，BC AC ⊥，13AC BC CC ===，113AE AA =，1113C F CC =． （Ⅰ）求证：//CE 面11A FB ；（Ⅱ）求直线1AC 与面11A FB 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角11A FB A --的余弦值．19．（12分）已知直线l 过点(2,3)P 且与定直线:2l y x '=在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB ∆的面积为(S O 为坐标原点），点(,0)B a ． （1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程．20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，且2CD =，1AB =，22BC =1PA =，AB BC ⊥，N 为PD 的中点．（1）求证：//AN 平面PBC ；（2）在直线PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 526，若存在，求出DMDP的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知动点M 到定点1(0,)4F 的距离比到x 轴距离大14．（1）求动点M 的轨迹方程C ；（2）过F 作互相垂直的直线l 与m 交轨迹(0)C y 于P 、Q 两点及S 、T 两点，A ，B 分别是弦PQ 、ST 的中点，当||1AB =时，求直线l 与m 的方程．22．（12分）已知曲线22122:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为2322:43C y x =，1C 的一个焦点在2C 的准线上． （1）求曲线1C 的方程；（2）设曲线1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，若过点1F 的直线l 与曲线1C 的y 轴左侧部分（包含1C 与y 轴的交点）交于A ，B 两点，直线2AF 与曲线2C 交于C ，D 两点，直线2BF 与曲线2C 交于E ，F 两点，试求||||CD EF +的取值范围．2020-2021学年辽宁省实验中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（5分）若O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则( )A ．OA ，OB ，OC 共线 B ．OA ，OB 共线 C ．OB ，OC 共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面【解答】解：向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底， ∴向量OA ，OB ，OC 共面，因此O ，A ，B ，C 四点共面， 故选：D ．2．（5分）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为( ) A ．77AB ．4343A A + C ．4343A A D ．4345A A【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①将4名学生站成一排，有44A 种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有35A 种情况； 则有4345A A 种排法； 故选：D ．3．（5分）已知ABC ∆的顶点分别为(1A ，1-，2)，(5B ，6-，2)，(1C ，3，1)-，则AC 边上的高BD 等于( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：设AD AC λ=，又(0AC =，4，3)-．则(0AD =，4λ，3)λ-．(4AB =，5-，0)，(4BD =-，45λ+，3)λ-，由0AC BD ⋅=，得45λ=-，∴(4BD =-，95，12)5，||5BD ∴=．故选：C ．4．（5分）如图所示，设E 、F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱CD 上两点，且2AB =，1EF =，其中正确的命题为( )A ．异面直线11B D 与EF 所成的角为45︒ B ．异面直线11B D 与EF 所成的角为30︒C ．直线11BD 与平面1B EF 所成的角为45︒ D ．直线11B D 与平面1B EF 所成的角为60︒ 【解答】解：因为11//EF D C ，所以111B D C ∠是异面直线11B D 与EF 所成的角为45︒， 故选项A 正确，选项B 错误；在三棱锥11D B DC -中，设点1D 到平面1DCB 的距离为h ， 则有1111B D DC D DCB V V --=，所以11112222223232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得2h则直线11B D 与平面1B EF 21222=， 所以直线11B D 与平面1B EF 所成的角为30︒， 故选项C ，D 错误．故选：A ．5．（5分）在50(2[3]3)-的展开式中有理项的项数是( ) A ．9B ．8C ．7D ．6【解答】解：50(2[3]3)-的展开式的通项公式为50150(2)([3]3)rr r r T C -+=⋅⋅-， 故当50r -为偶数，且r 能被3整除时，即0r =，6，12，18，24，30，36，42，48时，展开式为有理项， 故选：A ．6．（5分）已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,3)A -，(2,1)B --，(6,1)C -，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为( ) A ．221x y += B ．224x y +=C ．22165x y +=D ．221x y +=或2237x y +=【解答】解：如图(2,3)A -，(6,1)C -，∴过A 、C 的直线方程为163126y x +-=+--，化为一般式方程，240x y +-=． 点O 到直线240x y +-=的距离4515d ==>， 又22(2)313OA =-+=，22(2)(1)5OB =-+-=，226(1)37OC =+-=． ∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0,1)-或(6,1)-，∴圆的半径为1或37，则圆的方程为221x y +=或2237x y +=． 故选：D ．7．（5分）已知抛物线24y x =上的点P 到2x =-的距离为1d ，到直线3490x y -+=的距离。