A
B
C
A 1
B 1
C 1
A
B
C
D
O
1、 相似三角形判定定理2
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.
可简述为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.
如图,在ABC ∆与111A B C ∆中,1A A ∠=∠,1111
AB AC
A B AC =
,那么ABC ∆∽111A B C ∆.
【例1】 如图,四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,
2OA =,3OB =,6OC =,4OD =. 求证:OAD ∆与OBC ∆是相似三角形.
相似三角形判定定理2
知识精讲
A
B
C
D
A
B
C
D
E
【例2】 如图,点D 是ABC ∆的边AB 上的一点,且2AC AD AB =g .
求证:ACD ∆∽ABC ∆.
【例3】 如图,在ABC ∆与AED ∆中,
AB AC
AE AD
=
,BAD CAE ∠=∠. 求证:ABC ∆∽AED ∆.
【例4】 下列说法一定正确的是( )
A .有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似
B .对应角相等的两个三角形不一定相似
C .有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
D .一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似
【例5】 在ABC ∆和DEF ∆中,由下列条件不能推出ABC ∆∽DEF ∆的是( )
A .A
B A
C DE DF =
,B E ∠=∠ B .AB AC =,DE DF =,B E ∠=∠ C .AB AC DE DF =
,A D ∠=∠ D .AB AC =,DE DF =,C F ∠=∠
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
A
B C
E
F
G
【例6】 如图,D 是ABC ∆内一点,E 是ABC ∆外一点,EBC DBA ∠=∠,ECB DAB ∠=∠,求证:
BDE BAC ∠=∠.
【例7】 已知,在ABC ∆中,BE 、CF 是ABC ∆的两条高,BE 、CF 交于点G .
求证:(1)AC CE CF GC =g
g ; (2)AFE ACB ∠=∠.
【例8】 如图,点O 是ABC ∆的垂心(垂心即三角形三条高所在直线的交点),联结AO 交CB 的延长
线于点D ,联结CO 交的AB 延长线于点E ,联结DE . 求证:ODE ∆∽OCA ∆.
A
B
C B ’
C ’
A
B C
D E F
G
A
B
C D
N
M
【例9】 如图,ABC ∆∽''AB C ∆,点'B 、'C 分别对应点B 、C .
求证:'ABB ∆∽'ACC ∆.
【例10】 如图,在正方形ABCD 中,M 为AD 的中点,以M 为顶点作BMN MBC ∠=∠,MN 交CD 于
点N ,求证:2DN
CN =.
【例11】 如图,在ABC ∆中,90BAC ∠=︒,AD 是边BC 上的高,点E 在线段DC 上,EF AB ⊥,
EG AC ⊥,垂足分别为F 、G .
求证:(1)
EG CG
AD CD
=
;(2)FD DG ⊥.
A
B
C
E
F
G
H
A B
C
P Q
A
B
C
D
P
H
【例12】 如图,在ABC ∆中,正方形EFGH 内接于ABC ∆,点E 、F 在边AB 上,点G 、H 分别在BC 、
AC 上,且2EF AE FB =g .
求证:(1)90C ∠=︒;(2)AH CG AE FB =g g .
【例13】 如图,PH 是Rt ABC ∆斜边AC 上的垂直平分线,垂直为点H ,并交直角边AB 于点P ,D 是
PH 上一点,且AD 是AP 与AB 的比例中项.求证:
(1)AP AB AH AC =g g ; (2)ACD ∆是等腰直角三角形.
【例14】 如图,16AB =厘米,12AC =厘米,动点P 、Q 分别以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同时开
始运动,其中点P 从点A 出发沿AC 边一直移动到点C 为止,点Q 从点B 出发沿BA 边一直移动到点A 为止.经过多长时间后,APQ ∆与ABC ∆相似?
A
B C
D
E
F A B
C
D
【习题1】 如图,在ABC ∆中,如果EF //AB ,DE //BC ,那么你能找出哪几对相似三角形?
【习题2】
如图,在ABC ∆中,D 为边AC 上一点,DBC A ∠=∠,6BC =,3AC =,则CD 的长为
.
【习题3】
根据下列条件,判断和是否是相似三角形;如果是,那么用符号表示出来.
(1) 45A ∠=︒,12AB cm =,15AC cm =,
45D ∠=︒,16DE cm =,20DF cm =;
(2) 45A ∠=︒,12AB cm =,15AC cm =,
45E ∠=︒,20ED cm =,16EF cm =;
(3) 45A ∠=︒,12AB cm =,15AC cm =,
45D ∠=︒,16ED cm =,20EF cm =.
A
B
C
D
E
A
B C D
E
F
A
B
C
D
E
A
B
C
D
O
M S
【习题4】
如图,Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,BD 平分ABC ∠,DE AB ⊥,若6BC =,8AC =,则
CD =
.
【习题5】 如图,AB //CD ,图中共有
对相似三角形.
【习题6】
如图,在矩形ABCD 中,点E 是边BC 的中点,且DE AC ⊥,那么:CD AD =
.
【习题7】
如图,ABC ∆是直角三角形,90ACB ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,E 是AC 的中点,ED 的
延长线与CB 的延长线交于点F .
求证:FB FD
FD FC
=
.
A
B
C
E
F
M
G A
B
C
D E 【习题8】
如图,在ABC ∆中,点E 在中线BD 上,DAE ABD ∠=∠.求证:
(1)2AD DE DB =g ; (2)DEC ACB ∠=∠.
【习题9】
如图,在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,4AC BC ==,M 是边AB 的中点,E 、G 分别
是边AC 、BC 上的一点,45EMG ∠=︒,AC 与MG 的延长线相交于点F .
(1)在不添加字母和线段的情况下,写出图中一定相似的三角形,并证明其中的一对; (2)联结EG ,当3AE =时,求EG 的长.。