证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用大全证明数列型不等式，其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性 例1．证明：当Z n n ∈≥,6时，(2)12nn n +<. 证法一：令)6(2)2(≥+=n n n c nn ，则0232)2(2)3)(1(1211<-=+-++=-+++n n n n n n n n n n c c , 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，66831.644n c c ⨯≤==< 于是当6n ≥时，2(2)1.2n n +< 证法二：可用数学归纳法证.(1)当n = 6时，66(62)48312644⨯+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即(2)1.2kk k +< 则当n =k +1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k++++++++=⨯<<++g 由(1)、(2)所述，当n ≥6时，2(1)12n n +<. 二、借助数列递推关系 例2.已知12-=n n a .证明：()23111123n n N a a a *++++<∈L . 证明：nn n n n a a 121121212211211111⋅=-⋅=-<-=+++Θ， ∴32])21(1[321)21(...12111112122132<-⋅=⋅++⋅+<+++=-+n n n a a a a a a S Λ. 例3. 已知函数f(x)=52168xx+-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=．(1) 试比较n a 与54的大小，并说明理由； (2) 设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1ni i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜14(2n－1)．分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。

解：(1) 因为10,0,n n a a +>>所以1680,0 2.n n a a -><<15548()52553444168432(2)22n n n n n n na a a a a a a +--+-=-==⋅---,因为20,n a ->所以154n a +-与54na -同号，因为151044a -=-<，250,4a -<350,4a -<…，50,4n a -<即5.4n a <（2）当2n ≥时，1111531531()422422n n n n n n b a a b a a ----=-=⋅⋅-=⋅⋅--113125224n n b b --<⋅⋅=-，所以2131212222n n n n n b b b b ----<⋅<⋅<<=L ，所以3121(12)11114(21)422124n nn n n S b b b --⎛⎫=+++<++⋅⋅⋅+==- ⎪-⎝⎭L .例4. 已知不等式],[log 21131212n n >+++Λ其中n 为不大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数。

设数列{}n a 的各项为正且满足111),0(--+≤>=n n n a n na a b b a )2≥n （.证明：][log 222n b ba n +<，Λ5,4,3=n .证明：由11--+≤n n n a n na a 得：n a a n n 1111+≥-, n a a n n 1111≥-∴- )2(≥n , 111121-≥---n a a n n ,… ,211112≥-a a , 以上各式两边分别相加得：21111111++-+≥-Λn n a a n ， 2111111++-++≥∴Λn n b a n ][log 2112n b +>=bn b 2][log 22+， ∴ ][log 222n b ba n +<)3(≥n .三、裂项放缩 例5.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ解析:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk Λ 又1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n nΛΛ当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++Λ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++Λ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ.例6.已知21n n a =+，()12x f x -=，求证：()()()121126n n T b f b f b f n =+++<L ．证明：由于()()()()()()()11111212111111222212121212121n nn n n n n n n n b f n +-++++-+⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪++++++⎝⎭()()()1222311111111122121212122121n n n n T b f b f b f n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L1111111212212126n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭． 例7. 已知x x x f +=2)(，数列{}n a 的首项)(,2111n n a f a a ==+. (1) 求证：n n a a >+1；(2) 求证：6n ≥时2112111111<++++++<na a a Λ.证明：⑴ n n n a a a +=+21，∵211=a ，∴n a a a Λ,,32都大于0，∴02>n a ，∴n n a a >+1. （2）nn n n n n n a a a a a a a +-=+=+=+111)1(11121，∴11111+-=+n n n a a a .故 11113221211211111*********+++-=-=-++-+-=++++++n n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛ∵4321)21(22=+=a ,143)43(23>+=a ,又∵n n a a n >≥+12，∴131>≥+a a n .∴21211<-<+n a , ∴2111111121<++++++<na a a Λ. 四、分类放缩例8.当,3Z n n ∈≥，时，求证:21214131211nn >-+⋅⋅⋅++++证明:当21==n n ，时不等式显然成立.）（）（）（n n n n 2121212121212121212111214131211333322+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++++>-+⋅⋅⋅++++2n >. 例9. 已知22[2(1)]3n n n a -=--.证明：对任意整数4>m ，有8711154<+++m a a a Λ. 分析：不等式左边很复杂，要设法对左边的项进行适当放缩，使之能够求和。

而左边=232451113111[]221212(1)m mm a a a -+++=+++-+--L L ，如果我们把上式中的分母中的1±去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：32322121121121+>++-，43432121121121+<-++，因此，可将1212-保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。

这里需要对m 进行分类讨论，（1）当m 为偶数)4(>m 时，m a a a 11154+++Λ)11()11(11654m m a a a a a +++++=-Λ)212121(2321243-++++<m Λ )211(4123214--⨯+=m 8321+<87= （2）当m 是奇数)4(>m 时，1+m 为偶数，8711111111165454<+++++<++++m m m a a a a a a a a ΛΛ. 所以对任意整数4>m ，有m a a a 11154+++Λ87<。

五、利用函数单调性（导数）放缩例10. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<, ()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证: （Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +< （Ⅲ）若1a =则当n ≥2时,!n n b a n >⋅. 分析：第（1）问用数学归纳法证明；第（2）问利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。

证明：(Ⅰ)先用数学归纳法证明01n a <<,*n N ∈.（1）当n=1时,由已知得结论成立；（2）假设当n=k 时,结论成立,即01k a <<.则当n=k+1时, 因为0<x<1时,1()1011x f x x x '=-=>++,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[]0,1上连续,所以f(0)<f(k a )<f(1),即0<11ln 21k a +<-<. 故当n=k+1时,结论也成立. 即01n a <<对于一切正整数都成立.又由01n a <<, 得()1ln 1ln(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,从而1n n a a +<. 综上可知10 1.n n a a +<<<(Ⅱ)构造函数g(x)=22x -f(x)=2ln(1)2x x x ++-, 0<x<1, 由2()01x g x x'=>+,知g(x)在(0,1)上增函数. 又g(x)在[]0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0. 因为01n a <<,所以()0n g a >,即()22n n a f a ->0,从而21.2n n a a +< (Ⅲ) 因为 1111,(1)22n n b b n b +=≥+,所以0n b >,1n nbb +12n +≥ ,所以1211211!2n n n n n n b b b b b n b b b ---=⋅⋅≥⋅L ————① 由(Ⅱ)21,2n n a a +<知:12n n n a a a +<, 所以1n a a =31212121222n n n aa a a a a a a a --⋅<L L ,因为1a =≥2, 10 1.n n a a +<<< 所以 n a 1121222n a a a a -<⋅L <112n n a -<2122n a ⋅=12n ————② 由①② 两式可知: !n n b a n >⋅. 例11.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++Λ. 证明:先构造函数有xx x x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++ΛΛ因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n31121219181716151413121313121ΛΛΛ6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---Λ 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nnΛ高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现。