导数的实际应用【要点梳理】要点一：最优化问题现实生产生活中，人们经常遇到经营利润最大、生产效率最高、用力最省、用料最少、消耗原材料或能源最省、面积或体积最大、用时最短等问题，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些问题通常称为最优化问题． 要点二：利用导数解决最优化问题的一般步骤解决最优化问题的方法很多，如：判别式法，平均不等式法，线性规划方法及利用二次函数的性质等． 不少最优化问题可以化为求函数最值问题，导数方法是解这类问题的有效工具．此时，要把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化，函数的最值由极值和区间端点的函数值比较确定，当定义域是开区间且函数只有一个极值时，这个极值也就是它的最值．一般步骤为：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()y f x =；(2)求函数的导数()f x '，解方程()0f x '=；(3)比较函数在区间端点和使()0f x '=的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．要点诠释：利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：①在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去．②在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使()0f x '=的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大(小)值．要点三：利用导数解决最优化问题的基本思路要点四：最优化问题的常见类型(1)利润最大问题；(2)用料最省、费用最低问题；(3)面积、体积最大或最小问题．【典型例题】类型一：用料最省、费用最低问题例1. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m) 【思路点拨】本题的关键是建立关于变量x（或y）的函数.【解析】依题意，有1822xxy x+=g，∴8(042)4xy xx=-<<，于是框架用料总长度为231622222xL x y xx⎛⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．231622Lx'=+-，令0L'=，即2316202x+-=，解得1842x=-，2428x=-(舍去)．当0＜x＜8－42时，0L'<；当84242x-<<时，0L'>．∴当x＝842-时，L取得最小值，此时842 2.343mx=-≈，y≈2.828 m．即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省．【总结升华】本问题中，由0L'=，得到1842x=-，2428x=-，由于x表示边框的长度，故x＞0，所以舍去2428x=-．解决实际问题时，切不可忽视变量的实际意义．举一反三：【变式】有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂位于离岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和到乙厂的水管费分别为每千米3a元和5a 元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?【答案】依题意设CD＝x，则AC＝50-x(0≤x≤50)用2240BC x=+∴水管费2223(50)540(150351600)y a x x a x x=-++=-++．∴22353216001600y a ax x⎛⎫⎛⎫'=-+=-+++⎝⎝，令0y '=，得30-=，∴ x ＝30． 当0≤x ＜30时，0y '<；当30＜x ≤50时，0y '>．∴ x ＝30时，y 取得最小值，此时，CD ＝30 km ，故AC ＝50-30＝20(km )，因此供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处时，可使水管费用最省．类型二：利润最大问题例2．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元／辆，出厂价为13万元／辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场的需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价一每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？(2)若年销售量关于x 的函数为25324023y x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭，则当x 为何值时，本年度的年利润最大?最大利润是多少？【思路分析】（1）由题设分别求出本年度每辆车的投入成本、每辆车的出厂价及年销售量，列出年利润的表达式；（2）由（1）知，每一辆汽车的利润是(3-0.9x )，结合年销售量，从而计算出本年度的年利润，建立关于变量x 的函数.【解析】 (1)由题意得：上年度的利润为(13-10)×5000＝15000(万元)；本年度每辆车的投入成本为10×(1+x )；本年度每辆车的出厂价为13×(1+0.7x )；本年度年销售量为5000×(1+0.4x )，因此本年度的利润为y ＝[13×(1+0.7x )-10×(1+x )]×5000×(1+0.4x )＝(3-0.9x )×5000×(1+0.4x )＝-1800x 2+1500x+15000(0＜x ＜1)．由-1800x 2+1500x+15000＞15000，解得0＜x ＜56． 所以当0＜x ＜56时，本年度的年利润比上年度有所增加． (2)本年度的年利润为25()(30.9)324023f x x x x ⎛⎫=-⨯⨯-++ ⎪⎝⎭323240(0.9 4.8 4.55)x x x =⨯-++，则2()3240(2.79.6 4.5)972(95)(3)f x x x x x '=⨯-+=--，由()0f x '=，解得59x =或3x =(舍去)， 当509x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 是增函数； 当519x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 是减函数． 所以当59x =时，()f x 取极大值5200009f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(万元)， 因为()f x 在(0，1)上只有一个极大值，所以20000是最大值， 所以当59x =时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． 【总结升华】实际问题中的最值问题，首先要根据题意，列出相应的函数关系式，再利用均值不等式法或者求导法得出问题的最值．一般说来，应用求导法确定函数的单调性，再根据单调性求最值的方法更具有普遍性． 举一反三：【变式】已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100+4q (0＜q ＜100)，价格p 与产量q 的函数关系式为1258p q =-．求产量q 为何值时，利润L 最大? 【答案】收入R ＝q ·p ＝211252588q q q q ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 利润2125(1004)8L R C q q q ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ 2121100(0100)8q q q =-+-<<，1214L q '=-+， 令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点q ＝84． 故产量q 为84时，利润三最大．类型三：面积、体积最大或最小问题例3．做一个无盖的圆柱形桶，要求其体积为定值V ，而用材料要最省，问圆柱的底面半径及高各应为多少？【解析】设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则2V R h π=，2V h R π=． 设圆柱的表面积为S ，则22S R Rh ππ=+22(0)V R R Rπ=+<<+∞ 322222V V S R R R R πππ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭, 令0S '=，得3VR π=32V V h R ππ== 因为函数在(0，+∞)内有唯一的极值点，所以它就是最小值点．3Vπ【总结升华】解决实际生活中的最值问题，关键是选好自变量，建立目标函数，如果函数在定义域开区间上只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点也就是取得最值的点；如果在一个闭区间内讨论，则将此极值与区间端点处的函数值加以比较得出最值．举一反三：【变式】要做一个底面为长方形的带盖的长方体箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边的比为1:2，问它的长、宽、高各为多少才能使表面积最小?【答案】设底面较短的边长为x cm ，则相邻一边长为2x cm ，又设箱子高为h ，则2272362h x x ==， 设表面积为S ， 则223642(2)S x x x x =++g 22164(0)x x x=+>， 32221688(27)S x x x x'=-=-． 令0S '=，解得S 在(0，+∞)内的唯一可能的极值点x ＝3．当x ＜3时，S ′＜0．当x ＞3时，S ′＞0．∴ 在x ＝3时，函数取极小值，即最小值，也就是当底面边长分别为3 cm ，6 cm ，高为4 cm 时，长方体箱子的表面积最小．。