1 知识总结1.1 指标符号例如, 三维空间任意一点p 在笛卡儿坐标系（321,,x x x ），若是再推广到比三维更高的空间时不好描述了。

因此，发展了另一种记法指标记法。

在三维空间力里， 矢量有三个分量，采用一般的指标将它们用一个简单的分量进行缩写。

因此在指标记法里边用指标符号表示为（i x ，i=1,2,3）。

一个 n 维空间的矢量（n x x x x ,,,,321⋅⋅⋅）也可用分量表示为（n i x i ,,2,1,⋅⋅⋅=）。

其中i —指标（取值范围为小于或等于n 的所有正整数）n —维数1.1.1 求和约定和哑指标求和约定是指标记法的补充。

若在一项中，只要一个下标在同一式子中重复 出现，则表示要对这个指标从1,2,3......n 求和。

要表示求和n n x a x a x a S ⋅⋅⋅++=2211，可表示为∑∑====nj j j ni i i x a x a S 11，约定：j j i i x a x a S ==，（用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维）。

其中求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次。

对于双重求和，∑∑==3131i j j i ij y x A ，其中，333323321331322322221221311321121111y x A y x A y x A y x A y x A y x A y x A y x A y x A y x A j i ij ++++++++=可表示为k j i ijk z y x A ，代表27项的和式。

1.1.2 自由指标333323213123232221211313212111b x A x A x A b x A x A x A b x A x A x A =++=++=++ 可以简写为i j ij b x A =，其中 j ——哑指标i ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同 1.1.3 Kronecker-δ符号和置换符号(Ricci 符号) （1）Kronecker-δ符号定义首先是标积，从物理学知道，一个力矢量 f 与一个位移矢量 s ,可以确定一个 标量，即功W ，cos W f s f s θ== 其中记作 f s ⋅ ．所以又称点积。

用指标符号，则当用基矢分别表示 f s , 时，它们的点积记为由于1e ，2e ，3e 是相互垂直的单位矢量，由点积的定义，知当i= j 时，δij 的分量是 1；当i ≠j 时，δij 的分量为 0。

即13,2,1,01133132232112332211==========≠=⎩⎨⎧==δδδδδδδδδδδ时，有当当当j i j i j i ij ji克朗内克（Kronecker ）符号δij 可看作是一个单位矩阵的缩写形式，即100010001333231232221131211==δδδδδδδδδδij当将 1、2、3 赋值给 i 时，这一点很容易被验证，于是得到的分量分别为1v ，2v ，3v 所以ij j i v v δ=，可见，最终的结果是由于在数值变换上用i 代替 j 。

所以，显而易见，将δij 应用于v j 只是将v j 中的 j 用i 置换；因此δij 符号通常称为置换算子。

（2）置换符号(Ricci 符号)()()()()()()()()等若有两个或三个指标相若若2,3,1,3,1,2,1,2,3,,2,1,3,1,3,2,3,2,1,,011==⎪⎩⎪⎨⎧-=k j i k j i e ijk交错张量 e ijk 还为缩写提供了另一种方法。

例如，叉积可以写为ijk j k i e v we。

注意求和约定。

三个矢量U ， V ，W 的点积和叉积可以得到几种有意义的乘积形式：下面的关系式成立并且有用：以U V W , 为边的平行六面体的体积或者该体积的负值， 这要根据U V W , 是不是构成右手坐标系而定。

1.2矢量的基本运算在三维空间中, 任意矢量都可以表示为三个基矢量的线性组合 321,,e e e ，i i e a e a e a e a a =++=332211其中a i 为矢量a 在基矢量e i 下的分解系数, 也称矢量的分量 （1）矢量点积可表示为ij j i e e δ=⋅，jj i i ij j i j j i i b a b a b a e b e a b a ==⋅=⋅δ(2)矢量叉积可表示为k ijk j i e e e e =⨯其中k ik i e e δ=，k jk j e e δ=kijk t ijt t js ir rst j j j i i i j i e e e e e e e e e e e ====⨯δδδδδδδδ321321321故可得：ji ijk k k j i ijk k ijk j i ji j i j j i i b a e c c e b a e e e b a e e b a e b e a b a ===⨯=⨯=⨯ (3)矢量的混合积可表示为r r k j i ijk e c e b a e c b a ⋅=⋅⨯=kr r j i ijk c b a e δ=k j i ijk c b a e 其中有k r ijr k j i e e e e e e ⋅=⋅⨯=ijk rk ijr e e =δ（ijk e 表示Ricci 符号）1.3坐标变换1.4梯度、散度1.4.1 标量场的梯度假定在空间某区域定义一个标量ϕ，那么可以得到 ϕ分别对三个坐标的导数，即321e ze y e x grad ∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕ 1.4.2 矢量的散度zu y u x u div z y x ∂∂+∂∂+∂∂=ϕ=u ⋅∇=⋅∂=j j i i j j e u e u , ∇u 是一个标量，在空间任一点，它只有一个值，不像矢量那样有三个分量。

1.5笛卡尔张量1.5.1 张量的概念与表示方法矢量是比标量更复杂的一种物理量或几何量。

自然界还有比矢量更复杂的量， 如弹性体中一点的应力状态，就有正应力x σ，y σ，z σ和剪应力xy τ，xz τ，yzτ，zxτ，yxτ，zy τ共九个分量值。

这样一种量，叫做张量。

先从矢量 v 的表示方法考虑，从有向线段的图示法出发，应用平行四边形合1.5.2 张量的代数运算 （1）加(减)法j i j i j i j i j i e e T e e B A B A T ''''''''''=+=+=)(（2）矢量与张量的点积(点乘)张量的乘法， 又叫张量的外积或直积。

任何阶的几个张量都可施行乘法运算。

其意义是第一个张量的每一个分量乘以第二个张量的每一个分量， 不难证明它们 组成的集合仍是一个张量，叫做原两个张量的积张量。

积张量的阶数等于两相乘 张量的阶数之和。

矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量b 比原张量 T 的阶数降低一阶 左点乘b e T a e e T e a T a k ij jk i k j jk i i ==⋅=⋅δ)()(右点乘==⋅=⋅jk i k ij k k j i ij e a T e a e e T a T δ)()(c e a T i j ij =a T T a ⋅≠⋅（只有对称张量两者才相等 ） （3）矢量与张量的叉积矢量与张量叉乘的结果仍为张量, 新张量与原张量同阶 左叉乘==⨯=⨯k r ijr jk i k j jk i i e e e T a e e T e a T a )()(A e e T a e k r jk i ijr =右叉乘==⨯=⨯r jkr i k ij k k j i ij e e e a T e a e e T a T )()(B e e a T e r i k ij jkr =（4）两个张量的点积两个张量点积的结果仍为张量。

新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减 2 Se e e e B A e e e e B A e e e B e e e A B A t s j i t ks k ij t s kr j i t rs k ij t s r t rs k j i k ij =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅δ)()(两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这相当于矩阵相乘 （5）张量的缩并在张量的不变性记法中, 将某两个基矢量点乘, 其结果是一个较原张量低二阶的新张量, 这种运算称为缩并 ，张量的缩并是张量特有的又一个代数运算。

对阶张量进行缩并，就是对其中 两相同的指标按求和约定求和。

不难证明，缩并之后仍是张量，其阶数比原张量 低某个偶数，这要看它是对几对指标缩并而定。

二阶张量的缩并，是一个标量。

低于二阶的张量（如矢量）不能进行缩并运 算。

j i ij e e A A =332211A A A A A e e A A ii ij ij j i ij ++===⋅=δ （6）指标置换这是张量所特有的代数运算之一，也是最简单的张量代数运算， 如k j i ijk e e e A A =若对该张量的分量中任意两个指标交换次序, 得到一个与原张量同阶的新张量k j i ijk k j i jik e e e B e e e A =k j i ijk k j i jik k i j ijk e e e B e e e A e e e A ==如果一个张量只是对某一对特定指标对称（或者斜对称） ，则称之为对这对指 标对称的（或者斜对称）张量。

如果在一个坐标系中，一个张量对某一对指标对 称（或者斜对称） ，那么在所有的坐标系中，它对该对指标都对称（或者斜对称） 。

2知识应用————井筒岩体裂隙等效渗透系数张量数值法研究2.1 井筒岩体淋水现状受地质、水文、施工等多种复杂因素的影响，煤矿在井筒建设之初就有淋水现象。

随时间推移，淋水点越来越多，淋水量不断增大。

副井井筒主要出水层位是在进入到主要含水层后开始，明显出水点集中在井壁破裂处，局部裂隙、明显出水点和井壁破裂严重的位置基本对应，大多出现在井筒的东北和西南方向，裂隙井筒岩体渗透性及其随着应力、温度的影响受到广泛关注。

图2.1 副井井筒内罐道梁和支护体系在淋水后锈蚀沿整个副井井深，在井壁的东北和西南出现明显的压剪破坏裂缝，东北方位裂缝多数右上到左下方向，而西北方位裂缝多数是左上到右下，呈现出与地层侏罗系地层X型压剪共轭裂缝相对应的特征。

随着井筒深度增加，裂缝倾角（初始近70 ）有逐步变缓趋势。

井壁裂缝沿井深的分布广，井深50m以下直到马头门上方均布。

图2.2 井深80~200m副井井壁混凝土破坏段主要位于马头门向上100m左右范围，从地质柱状图可知，这一范围恰好处于1煤至5煤的含煤地层。