第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ考点1 函数的概念1.(2015·湖北，7)设x ∈R ，定义符号函数x sgn ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |x sgn |B ．|x |＝x x sgnC ．|x |＝ sgn x xD ．|x |＝sgn x1.解析 对于选项A ，右边＝x x sgn ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项B ，右边＝xx sgn ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确； 对于选项C ，右边＝sgn x x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >00，x ＝0x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项D ，右边＝sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然正确.故应选D.答案 D2.(2015·重庆，3)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域为( ) A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)2.解析 需满足x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪ (1，＋∞)． 答案 D3.(2015·湖北，6)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]3.解析 依题意，有4－|x |≥0，解得－4≤x ≤4； ①且x 2－5x ＋6x －3>0，解得x >2且x ≠3， ②由①②求交集得函数的定义域为(2，3)∪(3，4]．故选C.答案 C4.(2015·新课标全国Ⅰ，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2 x ＋1 ，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－144.解析 若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3，2a －1＝－1(无解)；若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7，f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.答案 A5.(2015·山东，10)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x，x ≥1.若⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛65f f ＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.125.解析 由题意，得⎪⎭⎫⎝⎛65f ＝3×56－b ＝52－b .若52－b ≥1，即b ≤32时，522=4b -，解得b ＝12. 若52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎪⎭⎫⎝⎛-b 25－b ＝4，解得b ＝78(舍去)． 所以b ＝12.答案 D6.(2015·陕西，4)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12 D.326.解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝⎪⎭⎫⎝⎛41f ＝1－41＝1－12＝12，故选C. 答案 C7.(2014·山东，3)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)7.解析 由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2， 即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)． 答案 C8.(2014·江西，4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥02－x，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 8.解析 因为－1＜0，所以f (－1)＝(1)2－－＝2，又2＞0，所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14.答案 A9.(2015·新课标全国Ⅱ，13)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 9.解析 由函数f (x )＝ax 3－2x 过点(－1，4)，得4＝a (－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 答案 －2考点2 函数的基本性质1.(2016·山东，9)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，当x ＞12时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x f .则f (6)＝( )A.－2B.－1C.0D.21.解析 当x ＞12时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x f ，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x ＜0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)－[(－1)3－1]＝2，故选D. 答案 D2.(2015·新课标全国Ⅱ，12)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 2.解析 由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2 知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|)．当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，得f ′(x )＝11＋x ＋2x（1＋x 2）2＞0，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数， 则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|， 平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1，故选A.答案 A3.(2015·北京，3)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝| ln x |D ．y ＝2x3.解析 由f (－x )＝f (x )，且定义域关于原点对称，可知A 为奇函数，B 为偶函数，C 定义域不关于原点对称，D 为非奇非偶函数． 答案 B4.(2015·福建，3)下列函数中为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x－e－x4.解析 由奇函数定义易知y ＝e x－e －x为奇函数，故选D. 答案 D5.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x5.解析 对于A ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数； 对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于C，f(－x)＝2－x＋12－x ＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.答案 D6.(2015·新课标全国Ⅰ，12)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( )A．－1 B．1 C．2 D．46.解析设f(x)上任意一点为(x，y)，该点关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，将(－y，－x)代入y＝2x＋a，所以y＝a－log2(－x)，由f(－2)＋f(－4)＝1，得a－1＋a－2＝1，2a＝4，a＝2.答案 C7.(2014·北京，2)下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|7.解析分别画出四个函数的图象，如图所示：因为对数函数y＝ln x的定义域不是R，故首先排除C；因为指数函数y＝e－x在定义域内单调递减，故排除A；对于函数y＝|x|，当x∈(－∞，0)时，函数变为y＝－x，在其定义域内单调递减，故排除D；而函数y＝x3在定义域R上为增函数．故选B.答案 B8.(2014·湖南，4)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝x3D．f(x)＝2x8.解析因为y＝x2在(－∞，0)上是单调递减的，故y＝1x2在(－∞，0)上是单调递增的，又y＝1x2为偶函数，故A对；y＝x2＋1在(－∞，0)上是单调递减的，故B错；y ＝x 3为奇函数，故C 错；y ＝2－x 为非奇非偶函数，故D 错．所以选A.答案 A9.(2014·新课标全国Ⅰ，5)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是 偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数9.解析 f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C.答案 C10.(2014·广东，5)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2x－12xB ．y ＝x 3sin x C ．y ＝2cos x ＋1D ．y ＝x 2＋2x10.解析 选项B 中的函数是偶函数；选项C 中的函数也是偶函数；选项D 中的函数是非奇非偶函数，根据奇函数的定义可知选项A 中的函数是奇函数． 答案 A11.(2014·重庆，4)下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x －2xD ．f (x )＝2x＋2x11.解析 函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x －2－x为奇函数，排除选项C ；选项D 中f (x )＝2x＋2x，则f (－x )＝2x＋2x ＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋2x为偶函数，故选D. 答案 D12.(2016·北京，10)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________.12.解析 f (x )＝xx －1＝1＋1x －1，所以f (x )在[2，＋∞)上单调递减， 则f (x )最大值为f (2)＝22－1＝2.答案 213.(2016·四川，14)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则⎪⎭⎫⎝⎛25f ＋f (2)＝________.13.解析 ∵f (x )周期为2，且为奇函数，已知(0，1)内f (x )＝4x， 则可大致画出(－1，1)内图象如图，∴f (0)＝0，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛25f ＋f (2)＝－⎪⎭⎫ ⎝⎛25f ＋f (2)＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-21f ＋f (0)＝－2＋0＝－2. 答案 －214.(2015·福建，5)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值为________．14.解析 ∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴x ＝1，∴a ＝1，f(x)＝2|x －1|，∴f(x)的增区间为[1，＋∞).∵[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m≥1.∴m 的最小值为1. 答案 115.(2014·新课标全国Ⅱ，15)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.15.解析 因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )， 又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3. 答案 316.(2014·安徽，14)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x ，0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则⎪⎭⎫⎝⎛429f ＋⎪⎭⎫⎝⎛641f ＝________. 16.解析 由于函数f (x )是周期为4的奇函数， 所以⎪⎭⎫⎝⎛429f ＋⎪⎭⎫ ⎝⎛641f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯4342f ＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯6742f＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-43f ＋⎪⎭⎫⎝⎛-67f ＝⎪⎭⎫⎝⎛-43f －⎪⎭⎫⎝⎛67f ＝－316＋sin π6＝516.答案 51617.(2014·四川，13)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则⎪⎭⎫⎝⎛23f ＝________.17.解析 由已知易得⎪⎭⎫ ⎝⎛-21f ＝－4×221⎪⎭⎫⎝⎛＋2＝1，又由函数的周期为2，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ＝⎪⎭⎫⎝⎛-21f ＝1. 答案 1考点3 二次函数与幂函数1.(2014·湖北，9)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}1.解析 当x ≥0时，函数g (x )的零点即方程f (x )＝x －3的根， 由x 2－3x ＝x －3，解得x ＝1或3；当x ＜0时，由f (x )是奇函数得－f (x )＝f (－x )＝x 2－3(－x )，即f (x )＝－x 2－3x . 由f (x )＝x －3得x ＝－2－7(正根舍去)．故选D. 答案 D2.(2014·北京，8)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟2.解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B.答案 B3.(2014·浙江，9)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定3.解析 |b ＋t a |2＝|a |2t 2＋2a·b ·t ＋|b |2＝|a |2t 2＋2|a||b|cos θ·t ＋|b |2， 设f (t )＝|a |2t 2＋2|a||b|cos θ·t ＋|b |2， 则二次函数f (t )的最小值为1，即4|a|2|b|2－4|a|2|b|2cos 2θ4|a|2＝1，化简得|b |2sin 2θ＝1. ∵|b |＞0，0≤θ≤π，∴|b |sin θ＝1，若θ确定，则|b |唯一确定，而|b|确定，θ不确定，故选B. 答案 B考点4 指数与指数函数1.(2016·新课标全国Ⅲ，7)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( )A.b <a <cB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b 1.解析 a ＝243＝316，b ＝323＝39，c ＝2513＝325，所以b <a <c .答案 A2．(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a2.解析 由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23， ∴log 25＞|－log 23|＞0，∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)，故选B. 答案 B3.(2015·山东，3)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a3.解析 根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1， 根据指数函数y ＝1.5x在R 上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1， ∴b ＜a ＜c . 答案 C4.(2015·四川，8)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时D ．28小时4.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b，48＝e 22k ＋b，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12， ∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24. 答案 C5.(2014·山东，5)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3＞y 3B ．sin x ＞sin yC ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)D.1x 2＋1＞1y 2＋15.解析 根据指数函数的性质得x ＞y ，此时，x 2，y 2的大小不确定，故选项C 、D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质知选项B 中的不等式不恒成立；根据不等式的性质知选项A 中的不等式恒成立． 答案 A6.(2014·陕西，7)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x6.解析 根据和的函数值等于函数值的积的特征，其典型代表函数为指数函数，又所求函数为单调递增函数，故选B. 答案 B7.(2015·北京，10)2－3，123，log 25三个数中最大的数是________．7.解析 2－3＝18<1，又因为23<22<5，所以log 223<log 222<log 25，即3<log 25. 所以最大值为log 25. 答案 log 25考点5 对数与对数函数1.(2016·新课标全国卷Ⅱ，10)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A.y ＝xB.y ＝lg xC.y ＝2xD.y ＝1x1.解析 函数y ＝10lg x的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x，故选D.答案 D2.(2016·新课标全国Ⅰ，8)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.c a log <c b log B a c log <b c log C.a c<b cD.c a>cb2.解析 对A ：c a log ＝lg c lg a ，c b log ＝lg c lg b，∵0<c <1，∴lg c <0，而a >b >0，所以lg a >lg b ，但不能确定lg a 、lg b 的正负，所以它们的大小不能确定，所以A 错；对于B ：a c log ＝lg a lg c ，b c log ＝lg b lg c ，而lg a >lg b ，两边同乘以一个负数1lg c 改变不等号方向，所以选项B 正确；对C ：由y ＝x c在第一象限内是增函数，即可得到a c>b c，所以C 错； 对D ：由y ＝c x在R 上为减函数，得c a<c b，所以D 错.故选B. 答案 B3.(2015·四川，4)设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3.解析 若a ＞b ＞1，那么log 2a ＞log 2b ＞0； 若log 2a ＞log 2b ＞0，那么a ＞b ＞1，故选A. 答案 A4.(2015·湖南，8)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数4.解析 易知函数定义域为(－1，1)，又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数．答案 A5.(2014·福建，8)若函数y ＝log a x ( a ＞0，且a ≠1)的图象如下图所示，则下列函数图象正确的是( )5.解析 因为函数y ＝log a x 过点(3，1)，所以1＝log a 3，解得a ＝3.y ＝3－x不可能过点(1，3)，排除A ；y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1，1)，排除C; y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1), 排除D ，故选B.答案 B6.(2014·山东，6)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜16解析 由对数函数的性质得0＜a ＜1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c ＞0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c ＜1.答案 D7.(2014·天津，4)设a ＝log 2 π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a解析 利用中间量比较大小．因为a ＝log 2π∈(1，2)，b ＝log 12π＜0，c ＝π－2∈(0，1)，所以a ＞c ＞b . 答案 C8.(2014·辽宁，3)已知a ＝213，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b8 解析 a ＝2－13＜20＝1，所以0＜a ＜1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＞log 1212＝1，所以c ＞a ＞b . 答案 D9.(2014·四川，7)已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是()A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c9 解析 由已知得5a＝b ，10c＝b ，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，则5dc＝5a，∴dc ＝a ， 答案 B10.(2015·四川，12)lg 0.01＋log 216＝________. 10解析 lg 0.01＋log 216＝lg 1100＋log 224＝－2＋4＝2.答案 211.(2015·安徽，11)lg 52＋2lg 2－121-⎪⎭⎫⎝⎛＝________.11解析 lg 52＋2lg 2－121-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝lg 52＋lg 22－2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1.答案 －112.(2015·浙江，9)计算：log 222＝________，24log 3log 32＋＝________. 12.解析 log 222＝1-22log 2＝－12，24log 3log 32＋＝221log 3log 322＋＝322log 32＝3 3.答案 －12 3 313.(2014·陕西，12)已知4a＝2，lg x ＝a ，则x ＝________.13.解析 由已知4a ＝2⇒a ＝log 42＝12，又lg x ＝a ⇒x ＝10a ＝1012＝10.答案 101.(2016·新课标全国Ⅰ，9)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )1.解析 f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除A ；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；在x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.答案 D2.(2016·新课标全国Ⅱ，12)已知函数f (x ) (x ∈R)满足f (x )= f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3|与y =f (x )图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则x i =( )A. 0B. mC. 2mD. 4m 2.解析 函数f (x ) (x ∈R)满足f (x ) = f (2-x )， 故函数f (x )的图象关于直线x =1对称，函数y =|x 2-2x -3|的图象也关于直线x =1对称，故函数y =|x 2-2x -3|与y= f (x )图象的交点也关于直线x =1对称，故x i =×2=m，故选B.答案 B3.(2016·浙江，3)函数y ＝sin x 2的图象是( )3.解析 y ＝sin x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、C. 又当x 2＝π2，即x ＝±π2时，y max ＝1，排除B ，故选D. 答案 D4.(2015·新课标全国Ⅱ，11)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )4.解析 当点P 沿着边BC 运动，即0≤x≤π4时，在Rt△POB 中，|PB|＝|OB|tan ∠POB ＝tanx ，在Rt△PAB 中，|PA|＝22PB AB +＝4＋tan2x ，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝4＋tan2x＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ； 当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA|＋|PB|＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.故选B. 答案 B5.(2015·浙江，5)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )5.解析 ∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 答案 D6.(2014·浙江，8)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )6.解析 根据对数函数性质知，a ＞0，所以幂函数是增函数，排除A(利用(1，1)点也可以排除)；选项B 从对数函数图象看a ＜1，与幂函数图象矛盾；选项C 从对数函数图象看a ＞1，与幂函数图象矛盾.故选D. 答案 D7.(2014·辽宁，10)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，347.解析 当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34，故有13≤x ≤34.因为函数f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.故选A.答案 A考点6 函数与方程1.(2015·天津，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2 2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 1.解析函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数f (x )与g (x )图象的交点个数，记h (x )＝－f (2－x )，在同一平面直角坐标系中作出函数f (x )与h (x )的图象，如图所示，g (x )的图象为h (x )的图象向上平移3个单位，可知f (x )与g (x )的图象有两个交点，故选A. 答案 A2.(2015·安徽，4)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x2.解析 对数函数y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1为偶函数但没有零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝cos x 是偶函数且有零点，故选D. 答案 D3.(2014·重庆，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈ －1，0]，x ，x ∈ 0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233.解析 g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝m (x ＋1)的图象有两个交点，在同一平面直角坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]和函数y ＝m (x ＋1)的图象，如图所示，当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3，x ∈(－1，0]和y ＝x ，x ∈(0，1]都相交时，0＜m ≤12；当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－4，x ∈(－1，0]有两个交点时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m （x ＋1），y ＝1x ＋1－3，消元得1x ＋1－3＝m (x ＋1)，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0，化简得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，当Δ＝9＋4m ＝0，m ＝－94时，直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3相切，当直线y ＝m (x ＋1)过点(0，－2)时，m ＝－2， 所以m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2. 综上所述，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪(0，12]，选择A.答案 A4.(2014·北京，6)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞) 4.解析 因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)，故选C. 答案 C5.(2016·山东，15)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.5.解析 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |.当x ＞m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数.若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m ＜|m |. ∵m ＞0，∴m 2－3m ＞0，解得m ＞3. 答案 (3，＋∞)6.(2015·江苏，13)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．6.解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示．由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根的个数为4. 答案47.(2015·湖北，13)函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．7.解析 f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2.令f (x )＝0，则sin 2x ＝x 2，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2的图象的交点个数． 作出函数图象知，两函数交点有2个，即函数f (x )的零点个数为2.答案 28.(2014·天津，14)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．8.解析 由题意，函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，得函数y 1＝f (x )与y 2＝a |x |的图象有4个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象如图所示(a 显然大于0)．由图知，当y 2＝－ax (x ＜0)与y 1＝－x 2－5x －4(－4＜x ＜－1)相切时，x 2＋(5－a )x ＋4＝0有两个相等的实数根，则(5－a )2－16＝0，解得a ＝1(a ＝9舍去).所以当x ＜0时，y 1与y 2的图象恰有3个不同的交点．显然，当1＜a ＜2时，两个函数的图象恰有4个不同的交点，即函数y ＝ f (x )－a |x |恰有4个零点．答案 (1，2)9.(2014·福建，15))函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数为________． 9.解析 当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2；当x ＞0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，因为f ′(x )＝2＋1x＞0，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增， 因为f (1)＝2－6＋ln 1＝－4＜0，f (3)＝ln 3＞0，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上所述，函数f (x )的零点个数为2.答案 2考点7 函数模型及其应用1.(2016·四川，7)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金130万元.在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年1.解析 设第x 年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x ＝200，∴1.12x ＝2013，∴x ＝log 1.122013＝log 1.1220－log 1.1213＝lg 20lg 1.12－lg 13lg 1.12＝（lg 2＋lg 10）－（lg 1.3＋lg 10）lg 1.12＝0.3＋1－0.11－10.05＝3.8. 即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元.答案 B2.(2014·山东，9)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1) 2.解析 由题意可得准偶函数的图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y 轴的对称轴．选项A 、C 中函数的图象不存在对称轴，选项B 中函数的图象的对称轴为y 轴，只有选项D 中函数的图象存在不是y 轴的对称轴．答案 D3.(2014·湖北，16)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l . (1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．3.解析 (1)F ＝76 000v ＋20×6.05v＋18≤76 0002121＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时等号成立． (2)F ＝76 000v ＋20×5v＋18≤76 0002100＋18＝2 000，当且仅当v ＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.答案 (1)1 900 (2)1004.(2014·四川，15)以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M ，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M ，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x 时，φ1(x)∈A ，φ2(x)∈B ，现有如下命题： ①设函数f(x)的定义域为D ，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f(a)＝b”； ②若函数f(x)∈B ，则f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A ，g(x)∈B ，则f(x)＋g(x)∉B ； ④若函数f(x)＝aln(x ＋2)＋x x2＋1(x ＞－2，a ∈R)有最大值，则f(x)∈B. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)4.解析 ①显然正确；②反例：函数y ＝12x ＋1的值域为(0，1)，存在M ＝1符合题意，但此函数没有最值； ③当f (x )趋于＋∞时，无论g (x )在[－M ，M ]内如何取值，f (x )＋g (x )都趋于＋∞，所以f (x )＋g (x )不可能有最大值，此命题正确；④由于ln(x ＋2)的值域为R ，x x 2＋1的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，由③知如果a ≠0，则函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx ＋1的值域为R ，无最大值，与已知矛盾，所以a ＝0，所以此命题正确．答案 ①③④。