5. 二维场域的有限差分法
数值计算的两种重要方法
有限差分法(Finite Difference Method, FDM)
以差分原理为基础的一种数值方法；
首先，将求解场域剖分为很多网格和节点， 并用差商代替微商； 然后，将场域中的偏微分方程转化成以各节 点的电位或磁矢为未知量的差分方程组； 最后，解该方程组可得到各离散点待求的电 位或磁矢的数值解。
计算电磁场问题的重要性
计算电磁场
相互联系 相互依赖
电磁场工程 电磁场理论
计算电磁场为电磁场理论提供研究提供复杂 的数值及解析运算的方法、手段和计算结果； 电磁场理论为计算电磁场问题提供了电磁规 律、数学方程，进而验证其计算结果。
计算电磁场问题的重要性
计算电磁场
计算工具 革命性的变化
主要内容
f ( x) 1 f ( x h) f ( x) 2 x h h h
1. 计算电磁场问题的重要性 2. 电磁场计算方法分类 3. 数值计算的两种重要方法 4. 分布型问题的数值积分法
5. 二维场域的有限差分法
电磁场计算方法分类
镜像法 解析法 分离变量法 保角映射法 …… 有限差分法
数值法
有限元法 ……
电磁场计算方法分类
解析法优缺点
优点：可将解答表示为已知函数的显式，从 而计算出精确的数值结果；可以作为近似解和 数值解的检验标准；在解析过程中和在解的显 示中可以观察到问题的内在联系和各个参数对 数值结果所起的作用； 缺点：仅能解决很少量的问题，如简单边界 条件和规则几何形状问题。
dE
dq dy dE 2 40 r 40 (a 2 y 2 ) dEx
l
O
a

P
dy
40 (a y )
2 2
dE
cos
dq dy
E Ex
l 2 l 2

4 0 (a y )
2 2

a a y
2 2
y 1 2 l a n y 2 2
2
l 1 yn n y 2 2

3/2
主要内容
1. 计算电磁场问题的重要性 2. 电磁场计算方法分类 3. 数值计算的两种重要方法 4. 分布型问题的数值积分法
核磁共振成像系统磁体、磁电磁物体发射以及电磁对人体影 响的计算分析等等。
数值计算的两种重要方法
有限差分法和有限元法之所以不同，是因为 它们的数学建模方式不同，即它们对泊松方程 或拉普拉斯方程的数学离散方式不同； 一旦建立起数学模型以后，可以采用任何一 种计算机语言进行编程计算。
主要内容
N
x
ba N
a x1
xn b
x
1 xn a n x 2

b
a
1 f ( x)dx x f a n x 2 n 1
N
分布型数值问题的数值积分法
y
例1. 求均匀的有限差分法
二维场域的有限差分法
差分运算的基本概念
拉普拉斯方程的有限差分形式
简单迭代法 超松弛法
差分运算的基本概念
一阶差分
f ( x) f ( x h) f ( x)
f ( x) f ( x h) f ( x) x h
一阶差商
二阶差分
2
2 f ( x) f ( x h) f ( x)
电磁场数值计算法
主要内容
1. 计算电磁场问题的重要性 2. 电磁场计算方法分类 3. 数值计算的两种重要方法 4. 分布型问题的数值积分法
5. 二维场域的有限差分法
计算电磁场问题的重要性
计算电磁场
相互联系
相互依赖
电磁场工程 电磁场理论

计算电磁场解决实际电磁场工程中越来越复 杂的建模与仿真、优化设计等问题； 电磁场工程为计算电磁场提供实验结果，以 验证其计算结果的正确性。
dy
分布型数值问题的数值积分法
y
dq dy
例1. 求均匀带电直导线的电场强度。
dE
r
l
O
a

P
dE
E
l 2 l 2

4 0 (a y )
2 2

a a y
2 2
dy
dq dy
0 E l a(4a 2 l 2 )1/2 0
数值计算的两种重要方法
有限元法(Finite - Element Method, FEM)
以变分原理和剖分插值为基础的一种数值方法；
电机的电磁分布、电磁力、变形、转自运动、动态变化过 程以及电力电子装置相结合等的分析和特性预测及计算等；
转动调节器的计算；变压器以及其它电力系统元件，如高压 绝缘、高压线圈、输电线电缆、接地系统、输电线和配电线 的外部磁场分析等； 感应加热、电磁搅拌、冶炼过程的电磁分离选料，具有分布 式参数的天线的计算等；
(当a=0时) (当a>0时)
分布型数值问题的数值积分法
y
dq dy
例1. 求均匀带电直导线的电场强度。
dE
r
l
O
a

P
E
l 2 l 2

4 0 (a y )
2 2

a a y
2 2
dy
dE
dq dy
l y N
E
a
40

n 1
N
电磁场计算方法分类
数值法优缺点
优点：原则上可以求解具有任何复杂几何形 状、复杂材料的电磁场工程问题；普适性强； 用户不必具备高度专业化的电磁场理论、数学 及数值技术方面的知识就能用提供的程序解决 实际问题； 缺点：数据输入量大、计算量大、受硬件条 件的限制。
主要内容
1. 计算电磁场问题的重要性 2. 电磁场计算方法分类 3. 数值计算的两种重要方法 4. 分布型问题的数值积分法
1. 计算电磁场问题的重要性 2. 电磁场计算方法分类 3. 数值计算的两种重要方法 4. 分布型问题的数值积分法
5. 二维场域的有限差分法
分布型数值问题的数值积分法
f ( x)
f ( xn ) f ( x1 )
……
O
f ( x)

b
a
f ( x)dx lim f ( xn )xn
N n 1