网格的边长 h 很小，因此在通过节点0且平行于
x 轴的直线上的相邻点 的电位值 Φ(x, y0 ) ，可用
二维函数的泰勒公式在节点0展开为：
Φx
=
Φ0
+ ⎜⎛ ∂Φ ⎟⎞ (x − ⎝ ∂x ⎠0
x0 ) +
21!⎜⎜⎝⎛
∂2Φ ∂x2
⎟⎟⎠⎞0
(x
−
x0 )2
+
1 3!
⎜⎜⎝⎛
∂3Φ ∂x3
⎟⎟⎠⎞0
方程的个数等于区域内的节点数。如果区域划分的 网格粗，即节点少，则差分方程组的个数少，求解方程 组简单，需要的时间短，但精度低；如果区域划分的网 格细，即节点多，则差分方程组的个数也多，求解方程 组所需的时间较长，但精度较高。
用有限差分法求解电位的精度主要取决于两个因素，一是 划分的网格数的多少，二是迭代次数的多少。如果区域划
图3.2 用有限差分法求解金属盒内的电位
例3.5.1 一个正方形截面的无限长金属盒。盒子的两 侧及底面的电位为零，顶部电位为100V，如图3.2所 示。求盒内的电位分布。 解:先将区域进行分格，用三条水平和三条垂直的等间 距直线将正方形区域划分为16个网格，25个节点。其中 边界节点16个，内节点9个。边界节点上的电位是已知 的，而9个内节点的电位为未知电位。由于这里是为了 说明解题方法，故只进行了很粗的分格，实际问题中， 网格必须分得较细才能得到较高的精度。 由题所给定的边界条件可知：16个边界节点中
为
Φ0
=
1 4
(Φ1
+
Φ2
+
Φ3
+
Φ4)
(3.12)
这是二维拉普拉斯方程的有限差分形式，它描述了 无源区域中任意一点的电位等于围绕它的四个点的电位 的平均值。
对于给定的区域和电荷分布，当用网格将区域划 分后，对每一个节点我们可以写出一个式(3.11)或式 (3.12)那样的差分方程，于是就可以得到一个方程数 与未知电位的网点数相等的线性差分方程组。对于给 定的连续边界条件，当用网格将区域划分后，我们可 以给出它在边界节点上的离散值。余下的问就是在已 知边界节点电位的条件下，用迭代法求解区域内各节 点上的电位。
图3.1 二维矩形区域的正方形网格
下面介绍有限差分法的基本原理. 如图3.1所示，在
一个边界为 C 的二维矩形区域内，电位的边值问题
可表示为：
∇2Φ = ∂2Φ + ∂2Φ = − ρs
∂x 2 ∂y 2
ε0
h
(3.1)
Φ |s = f (x, y)
(3.2)
即给定二维区域中的电荷分布和电位在边界上的
分的网格较细，则网格的边长 h 较小。若将式(3.4)减去 式(3.5)，并忽略 h 3 以上的项，可得
⎜⎛ ∂Φ ⎟⎞ ≈ Φ1 − Φ3
⎝ ∂x ⎠0
2h
(3.13)
这说明：节点0的平均中心差商近似等于该点的偏导数。
h 越小，近似的精度就越高，因此，差分方程组解的精
度就越高。另外，对于迭代次数的要求可由下面三个条 件来定：（1）余数都降到大约电位平均值的1%；（2） 所有余数的代数和与各个余数同数量级；（3）所有余 数均匀地混合（关于符号和数值）遍及整个区域。对于 解差分方程组，选用有效的算法是十分重要的，下面用 一个简单的例子来说明有限差分法的应用。
h
2
=
Φ1
+
Φ3
−
2Φ 0Байду номын сангаас
同理可写出
(3.7)
⎜⎜⎝⎛
∂2Φ ∂y 2
⎟⎟⎠⎞0 h2
=
Φ2
+
Φ4
−
2Φ 0
将上面两式相加可得
⎜⎜⎝⎛
∂2Φ ∂x 2
+
∂2Φ ∂y 2
⎟⎟⎠⎞
0
h
2
=
Φ1
+
Φ2
+
Φ3
+ Φ4
−
4Φ 0
(3.8) (3.9)
而在节点0的泊松方程又可以写为
⎜⎜⎝⎛
∂2Φ ∂x 2
+
∂2Φ ∂y 2
因此
(3.5)
Φ1
+
Φ3
=
2Φ 0
+
⎜⎜⎝⎛
∂2Φ ∂x 2
⎟⎟⎠⎞0
h2
+
42! ⎜⎜⎝⎛
∂4Φ ∂x 4
⎟⎟⎠⎞0 h4
+
⋅⋅⋅
(3.6)
当正方形网格分得足够多时，网格的边长h 可以
足够的小，则式(3.6)中的 h 4以上的项都可以忽略。
则式(3.6)可近似为
⎜⎜⎝⎛
∂2Φ ∂x 2
⎟⎟⎠⎞
0
值，求区域中各点的电位。有限差分法的第一步将场 域分成足够多的正方形网格，网格线之间的距离为h ， 网格线的交点称为节点。
现我们来讨论5个相邻节点上电位之间的关系，即节
点0上Φ 0 与节点1、2、3、4上电位 Φ1, Φ 2 , Φ3 , Φ 4
x 之间的关系。设节点0的坐标为（ x0 , y0），由于
⎟⎟⎠⎞ 0
=
−⎜⎜⎝⎛
ρs ε0
⎟⎟⎠⎞ 0
将式(3.10)代入式(3.9)可得
(3.10)
Φ0
=
1 4
⎡ ⎢Φ1 ⎢⎣
+
Φ2
+ Φ3
+
Φ4
+ ⎜⎜⎝⎛
ρs ε0
⎟⎟⎠⎞
0
h
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
(3.11)
这是一个二维区域中一点的泊松方程的有限差分形式，
它描述了该节点与周围四个节点的电位和该点电荷密度
之间的关系。对于无源区域，ρ s = 0 ，则式(3.11)变
(x
−
x0 )3
+
41! ⎜⎜⎝⎛
∂4Φ ∂x 4
⎟⎟⎠⎞0 (x
−
x0 )4
+
⋅⋅⋅
(3.3)
在节点1，x = x0 + h ，这一点的电位为
Φ1
=
Φ0
+
⎜⎛ ⎝
∂Φ ∂x
⎟⎞ h ⎠0
+
21! ⎜⎜⎝⎛
∂2Φ ∂x 2
⎟⎟⎠⎞0 h2
+
1 3!
⎜⎜⎝⎛
∂3Φ ∂x 3
⎟⎟⎠⎞ 0
h3
+
41! ⎜⎜⎝⎛
随着计算机技术的飞速发展，数值计算方法得到 越来越广泛的应用，并在电磁场计算方法中占有重 要的地位。
由于有限差分法是通过对被求解区域进行分格，实 现了将连续场的离散化，因此，有限差分法不仅能用 于解静电场的问题，还能解任意静态场和时变场问题； 不仅能处理线性问题，还能处理非线性问题。特别要 注意的是：不管被求解区域的边界形状如何复杂，只 要把网格分得足够的细，都可以得到足够精确的解。
∂4Φ ∂x 4
⎟⎟⎠⎞0 h4
+
⋅⋅⋅
在节点3，x = x0 − h ，这一点的电位为
(3.4)
Φ3
=
Φ0
− ⎜⎛ ∂Φ ⎟⎞ h ⎝ ∂x ⎠0
+
1 2!
⎜⎜⎝⎛
∂2Φ ∂x 2
⎟⎟⎠⎞
0
h
2
−
1 3!
⎜⎜⎝⎛
∂3Φ ∂x 3
⎟⎟⎠⎞
0
h
3
+
1 4!
⎜⎜⎝⎛
∂4Φ ∂x 4
⎟⎟⎠⎞
0
h
4
+⋅⋅⋅
计算物理理论
第三章 有限差分法求解电磁场问题
求解静电场边值问题，当场域边界的几何形状 比较简单时，其解可以用分离变量法求得。但当边界 形状比较复杂时，一般只能求出近似解。 有限差分法的基本思想是：将求解区域划分为网 格，将求解区域内的连续分布的场用网格节点上的离 散场值来代替，将边界上连续分布的边界条件用离散 的边界条件值来代替，这样我们可将被求解区域中的 解微分方程的边值问题用差分方程的迭代求解来代替。