第一章 习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为()()x x g com b = ，系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛bf Λ。

若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。

并画出输出函数及其频谱的图形。

答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略， （2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。

1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零，（1）如果L a 1<，Wb 1<，试证明()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1 证明：(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f Wf L f rect y x f y x,f y x y x yx *⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1==∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,F F ,,F ,,F F 1-（2）如果L a 1>， Wb 1>，还能得出以上结论吗？ 答：不能。

因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f Wf L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。

1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。

（必要时，可取合理近似） （1）()x y x f π4=1cos ,答：()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π,答：()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,答： ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,（4）()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答：()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb y x g y x y x y x y x y x x yx y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ 1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 ()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。

（1）()⎪⎭⎫⎝⎛2=f f H rect （2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛2-⎪⎭⎫⎝⎛4=f f f H rect rect 答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形{}{}[]21()()()()()3350(3)50sin (50)sin i x x G f g x comb rect x comb f c f c f⎧⎫⎡⎤⎧⎫==*Λ⎨⎨⎬⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭=*F F F方括号内函数频谱图形为：f1212353432135343233150图1.4（1）f c 2sin 图形为：f13213312310.6850.170.041图 1.4（2）因为f c 2sin 的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差50倍。

两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分量，因为此时f c 2sin 的最大值小于0.04%。

故图解)(f G 频谱结果为：f3213233150G(f)50*0.68550*0.171图 1.4（3）传递函数（1）形为：f 111图 1.4（4）因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++*⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++)32()32(171.0)50(sin 50)31()31(685.0)(f f f c f f f δδδδδ其反变换，即输出函数为：)50(322cos 342.032cos 37.11x rect x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππ 该函数为限制在[]25,25-区间内，平均值为1，周期为3，振幅为1.37的一个余弦函数与周期为1.5，振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。

传递函数（2）形为：f1图 1.4（5）此时，输出函数仅剩下在[]1,2--及[]2,1两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小，相对于传递函数（2）在[]1,1-的零值也是不能忽略的，由于027.0)35(sin 043.0)34(sin 22==c c可以解得，通过传递函数（2）得到的输出函数为：)50(352cos 027.0342cos 043.0x rect x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ππ 该函数依然限制在[]25,25-区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043，周期为0.75，的一个余弦函数与振幅为0.027，周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。

1.5 若对二维函数()()ax a y x h 2=sinc ,抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。

答：(){}(){}()y x f δa f ax sinc a y x h ⎪⎭⎫⎝⎛==2ΛF ,F ≤∞21=21≤∴Y aB X x ;也就是说，在X 方向允许的最大抽样间隔小于1/2a ，在y 方向抽样间隔无限制。

1.6 若只能用b a ⨯表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即 ()()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=b y a x Y y X x y x g y x g s rect rect comb comb ,, 试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复()y x g ,。

答：因为b a ⨯表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复()y x g ,也有贡献，不可省略。

第二章 习题解答2.1 一列波长为λ的单位振幅平面光波，波矢量k 与x 轴的夹角为045，与y 轴夹角为060，试写出其空间频率及1z z =平面上的复振幅表达式。

答：λ23=x f , λ22=y f , ()()()0,0,0λ222λ3πexpj2jkz exp ,,11U y x z y x U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2.2 尺寸为a ×b 的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面上的透射光场的角谱。

答：()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=b y rect a x rect y x U , ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛λβλλcos b sinc αcos a sinc ab βcos λαcos A , ，2.3 波长为λ的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的模板，其振幅透过率为()⎪⎭⎫ ⎝⎛32+150=0λπ0x cos x t .，求紧靠孔径透射场的角谱。

答:：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛31++⎪⎭⎫ ⎝⎛31-250+⎪⎭⎫ ⎝⎛50=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1+33+⎪⎭⎫ ⎝⎛1-3250+⎪⎭⎫ ⎝⎛50=⎪⎭⎫ ⎝⎛λβδλλαδλλαδλβλαδλβδλαλλδλαλ3λλβλαδλβλαcos cos cos cos cos cos cos cos δcos cos cos cos A .,..,.,2.4 参看图2.13，边长为a 2的正方形孔径内再放置一个边长为a 的正方形掩模，其中心落在()ηξ,点。

采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为z 的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。

画出0==ηξ时，孔径频谱在x 方向上的截面图。

yxOa2a图2.4题答：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛2=000000a ηy rect a ξx rect a y rect a x rect y x t , (){}()()()()()()y x y x y x f f a j2-exp af sinc af sinc a 2af sinc 2af sinc a y x t +-4=2200π,F()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4⨯⎪⎭⎫⎝⎛+1=2222z y z x a j2-exp z λy a sinc z λx a sinc a z λy 2a sinc z λx 2a sinc a y x 2z k j exp jkz exp z λj y x U λλπ,()2222⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41=z y z x a j2-exp z y a sinc z x a sinc a z y 2a sinc z x 2a sinc a z y x I λλπλλλλλ2, 2.5 图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为a ，长度为b ，中心相距为d 。