1. 两个函数f(z)和g(z)在闭域 D 上解析，若它们在 D的边界上处处相等，则它
_ _
装 订 线
们在D内也处处相等。
2.
复指数函数e z 是单调函数，复三角函数sinz及cosz是无界函数。
3.
因为可微函数的和函数仍是可微函数，所以对于复变函数
f (z) u(x, y) iv(x, y), 当u(x,y)及v(x,y)在点（x,y）可微，则f(z)在点 z=x+iy可微。
三、（8分）设f(z)在C： |z|=1内部解析，且连续到C，在C上|f(z)|<1。试证：在C内部 有且只有一个点z 0 , 使f (z 0 )=z 0 .
A-3
1 四、（10分）将函数 2 在z i的去心邻域展开为洛朗级数，并指出其收敛范围。 2 （z +1）
五、（7分）若f(z)是f(z)是0<|z-a|<R内不恒为常数的解析函数，而且z=a是它的零点 的极限点。 证明：z a是f (z)的本质奇点。
C
无穷可微。
7.复变函数f (z)在点z可微与 f(z)在点 z 解析是等价的。
8.解析函数的虚部和实部互为共轭调和函数。
9.若f(z)在z=0的邻域内可展开为泰勒级数f(z)= cn z n , 则f (z) cn z
n 0 n 0
∞

∞
n
10.若f(z)在z 0的邻域内可展开为泰勒级数f(z)=cn zn , 则f(z) c z
一、计算下列各题（20 分） 。
装 订 线
1. 6 0
2.-i i
3.arccos i
4.(1 i) 20
2 2 二、函数 f (z) x 2 y i 何处连续，何处可导，何处解析（10 分）.
B-1
∞ in 三、判断级数 3 的收敛性及绝对收敛性（ 10分） . n n 1
B-2
姓名： 学号：
大 连 理 工 大 学
课 程 名 称： 复变函数 试 卷： A 考试形式： 闭卷 试卷共 5 页 总分 100
院系： 级 班
授课院 (系)： 数学科学学院 一 标准分 得分 45 二 8 三 8
考试日期：2007 年 6 月 28 日 四 10 五 7 六 12 七 10
一、判断题（45 分） （判断正误（1 分） ，并简单说明理由（2 分） ）
四、下列函数在扩充复平面上有哪些奇点，这些奇点的类型是什 么？（10 分）
π z 2 1. cos z
1
2. co s 1
z
五、计算复积分（15 分） 1. c (x iy) dz 其中 c 为从原点到 1-i 的直线段.
2.
e
c
x
dz
其中 c 为以原点为起点，i 为终点的光滑曲线.
B-3
3.
z 2n 1 e z dy （n为正整数）为正向圆周， c z 2. c 1 zn
六、利用留数计算
x sin x dx （12分） 1 x2 ∞
∞
B-4
七、将
1 分别在0＜ | z | ＜5,5＜ | z | ＜6, 6＜ | z | ＜ 内展开为洛朗级数. (z 5)(z 6)
B-5
八、设 f(z)在|z-z0|<R 内解析，f(z)在|z-z0|<R 内不恒为零。证明： 存在 r,0＜r＜R，使 f(z)在 0＜|z-z0|<r 内无零点。 （8 分）
B-6
n0
∞
_____
__________ ∞ n n n0
11.函数 f(z)的洛朗展式 cn (z a ) n中的非负幂部分 cn (z a ) n 称为主要部分。
n -∞ n 0
∞
∞
1 12. 在z 0的去心邻域内能展开为洛朗级数。 1 sin z
A-2
二、（8分）讨论复函数f(z)= z 2的单值解析分支情况，并求在z=1取正值的那个分 支在z=i的值。
A-2
n 五、级数 （-1） n 0
∞
1 是否收敛？若收敛，是否绝对收敛？ (10分) n
1 六、把 在下列圆环域内展开为洛朗级数 （z-2)(z-3) i)0＜|z|＜2 ii)2＜|z|＜3 iii)3＜|z|＜+∞ iv)0＜|z-3|＜1
A-3
七、计算下列积分（20分）
2 1.（x +yi）dz,c为起点为0，终点为1+i的有向线段。 c
A-4
姓名： 学号：
大 连 理 工 大 学
课 程 名 称： 复变函数 试 卷： A 考试形式： 闭卷 试卷共 6 页 总 分 100
院系： 级 班
授课院 (系)： 数学科学学院
考试日期：2006 年 6 月 24 日
一 标准分 得分 15
二 8
三 10
四 10
五 10
六 12
七 20
八 7
九 8
十 /
4.
在扩充复平面内，单位圆的外部|z|>1是一个单连通区域。
5.
区域D内含有一段实轴，函数u(x,y)+iv(x,y)与u(z,0)+iv(z,0)(z=x+iy)
都在D内解析，则在D内u(x,y)+iv(x,y)=u(z,0)+iv(z,0).
A-1
6. 若f(z)在单连通区域D内连续，且对D内任意周线C有 f (z) dz 0，则f (z)在D内
一、计算下列各题（20 分） 。
1.(1 i)10
装 订 线
2. 3 8
3 .i i
A-1
二、证明sin 2z+cos2 z 1 (8分)
三、判断函数f(z)=x2 y 2 2 xyi的连续性、可导性、解析性。 (10分)
四、已知u (x y)(x 2 4 xy y 2 ), 求v,使f(z)=u+iv在复平面内解析。（10分）
A-4
2.
ex dz , c为正向圆周： |z|=1。 c z2
3. e x dz , c为起点为0，终点为πi的有向光滑曲线。
c
4.
ze x dz , c为正向圆周|z|=2。 c z2 1
A-5
八、若f (z)在开集D内可导，证明： f(z)在D内解析。（7分）
九、设f(z)在复平面内解析，f(z)在复平面内有界。 证明：f(z)在复平面内恒为常数。 (8分)
A-6
姓名： 学号：
Байду номын сангаас
大 连 理 工 大 学
课 程 名 称： 复变函数 试 卷： B 考试形式： 闭卷 试卷共 6 页 总 分 100
院系： 级 班
授课院 (系)： 数学科学学院
考试日期：2004 年 1 月 6 日
一 标准分 得分 20
二 10
三 10
四 10
五 15
六 12
七 15
八 8
九 /
十 /