如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！上海市格致中学2020届高三数学9月开学考试（含解析）一.填空题1.不等式13x>的解集为________【答案】1 (0,)3【解析】【分析】将常数移到左边，通分得到答案.【详解】1113311 3300003x xxx x x x-->⇒->⇒>⇒<⇒<<故答案1 (0,)3【点睛】本题考查了分式不等式的解法，属于基础题型. 2.已知向量(7,1,5)a=-，(3,4,7)b=-，则||a b+=________ 【答案】13 【解析】【分析】先求出向量a b+=（4，3，12），由此能求出|a b +|．【详解】∵向量()715a=-，，，()347b=-，，，∴a b+=（4，3，12），∴|a b +|==13．故答案为：13．【点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.如果双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，焦距为8，则实数m =________【答案】4- 【解析】 【分析】先化为标准式，再由焦距为8，列出m 方程，即可得到结论．【详解】由题意，双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，则223y x m m ---=1，半焦距为4，则﹣m ﹣3m ＝16，∴m ＝﹣4． 故答案为：﹣4．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题．4.函数2()f x x =，(0,)x ∈+∞的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=________【答案】2 【解析】 【分析】求出原函数的反函数，取x ＝4即可求得f ﹣1（4）． 【详解】由y ＝f （x ）＝x 2（x ＞0），得x =则函数f （x ）＝x 2（x ＞0）的反函数为y ＝f ﹣1（x ）=∴f ﹣1（4）2==．故答案为：2．【点睛】本题考查反函数的求法及函数值的求法，是基础题．5.若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=________ 【答案】0或2【解析】 【分析】方程变形为(2sin cos )cos 0ααα-⋅=，分为两种情况得到答案. 【详解】22sin cos cos 0(2sin cos )cos 0cos 0ααααααα⋅-=⇒-⋅=⇒=或2sin cos 0αα-=当cos 0α=时：cot 0α=当2sin cos 0αα-=时：cot 2α= 故答案为0或2【点睛】本题考查了三角函数运算，意在考查学生的计算能力.6.若复数z 的实部和虚部相等，且i 2iza =+（i 是虚数单位），则实数a 的值为________ 【答案】2- 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 详解】由2zi a i=+， 得z ＝i （a +2i ）＝﹣2+ai ， 又∵复数2zi a i=+的实部和虚部相等， ∴a ＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7.已知一组数据1-，1，0，2-，x 的方差为10，则x =________【答案】7或8- 【解析】 【分析】依据方差公式列出方程，解出即可。

【详解】1-，1，0，2-，x 的平均数为25x -， 所以22222122222110210555555x x x x x x ⎡⎤-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+-+--+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦解得7x =或8x =-。

【点睛】本题主要考查方差公式的应用。

8.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910，若这堆货物总价是9100200()10n-万元，则n 的值为________ 【答案】10 【解析】 【分析】由题意可得第n 层的货物的价格为a n ＝n •（910）n ﹣1，根据错位相减法求和即可求出． 【详解】由题意可得第n 层的货物的价格为a n ＝n •（910）n ﹣1，设这堆货物总价是S n ＝1•（910）0+2•（910）1+3•（910）2+…+n •（910）n ﹣1，①，由①910⨯可得910S n ＝1•（910）1+2•（910）2+3•（910）3+…+n •（910）n，②，由①﹣②可得110S n ＝1+（910）1+（910）2+（910）3+…+（910）n ﹣1﹣n •（910）n 91()109110n-=--n •（910）n ＝10﹣（10+n ）•（910）n ， ∴S n ＝100﹣10（10+n ）•（910）n ，∵这堆货物总价是9100200()10n-万元，∴n ＝10，故答案为10【点睛】本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．9.若函数221()lg 1x x f x x mx ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩在区间[0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为________ 【答案】910m ≤ 【解析】 【分析】由函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，得到()f x 在每一部分都单调递增，且212lg 1m -≤-，即可求出结果.【详解】因为函数()221lg 1x x f x x mx ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩在区间[)0,+∞上单调递增， 所以()f x 在每一部分都单调递增，且212lg 1m -≤-，即1121m lg m ≤⎧⎨-≤-⎩，解得910m ≤.故答案为910m ≤【点睛】本题主要考查分段函数单调的问题，只需满足每一部分单调，并且特别主要结点位置的取值即可，属于常考题型.10.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b ，且*,{|09,}a b n n n ∈≤≤∈N ，若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________ 【答案】725【解析】【分析】试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个数由分步计数原理知共有10×10种不同的结果，而满足条件的|a ﹣b |≤2的情况通过列举得到共28种情况，代入公式得到结果．【详解】试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个共有10×10种不同的结果，则|a ﹣b |≤1的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；4，4；5，5；6，6；7，7；8，8；9，9； 0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3；4，5；5，4；5，6；6，5；6，7；7，6；7，8；8，7；8，9；9，8共28种情况， 甲乙出现的结果共有10×10＝100， ∴他们”心有灵犀”的概率为P 10028257==． 故答案为：725【点睛】本题主要考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题．11.若关于x 的不等式112log (42)0x x λ++⋅<在0x >时恒成立，则实数λ的取值范围是_____【答案】3λ≥- 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性，将不等式去掉对数符号，再依据分离参数法，转化成求构造函数最值问题，进而求得λ的取值范围。

【详解】由112log (42)0x xλ++⋅< 得1421x x λ++⋅>，两边同除以2x ，得到，1422x xλ>-⋅， 0x ，设21x t =>，14t t λ∴>-，由函数14y t t=- 在()1+∞，上递减， 所以14143t t-<-=-，故实数λ的取值范围是3λ≥-。

【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，以及恒成立问题的常规解法——分离参数法。

12.已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅满足下列性质T 的一个排列（2n ≥，n *∈N ），性质T ：排列12,,,n a a a ⋅⋅⋅有且只有一个1i i a a +>（{1,2,,1}i n ∈⋅⋅⋅-），则满足性质T 的所有数列的个数()f n =________【答案】21n n -- 【解析】 【分析】先根据题意得到()f n 和(1)f n -之间的关系：()2(1)1f n f n n =-+-，再计算()f n 【详解】考虑()f n 和(1)f n -之间的关系，为此考虑两种情况下的()f n ：第一种为1到1n -符合性质T 排列，不妨设1i i a a +>，此时n 要么放在末尾要么放在i a 和1i a +之间，这一共有2(1)f n - 种情况；第二种为1到1n -不符合性质T 排列，此时若想插入数n 使得序列满足性质T ，则前1n -个数只能递增排列，然后插入n ，有1n -种情况； 故()2(1)1f n f n n =-+-()2(1)1()12[(1)]f n f n n f n n f n n =-+-⇒++=-+设1()12n n n a f n n a a -=++⇒=易知22(2)14422n n n f a a -=⇒=⇒=⨯=1())2(2n n f n n --≥=故答案为：21n n --【点睛】本题考查了数列的递推公式得到数列的通项公式，找到递推公式是解题的关键，本题还可以计算前面几项，归纳出通项公式，再利用数学归纳法得到答案.二.选择题13.如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由三视图及正三棱柱的几何特征可得解.【详解】由正三棱柱的几何特征知，俯视图中间有条实线，故选C.【点睛】本题主要考查了正三棱柱的几何特征和三视图的相关知识，属于基础题.14.点()2,0P 到直线14,23,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数，t R ∈）的距离为（ ）A.35 B.45C.65D.115【答案】D 【解析】 【分析】先把直线的参数方程化成普通方程，再根据点到直线的距离公式可得．【详解】由1423x ty t =+⎧⎨=+⎩消去参数t 可得3x ﹣4y +5＝0，根据点到直线的距离公式可得d 223204511534⨯-⨯+==+． 故选：D ．【点睛】本题考查了直线的参数方程化成普通方程，点到直线的距离公式，属基础题．15.若a b 、表示两条直线，α表示平面，下列说法中正确的为（ ） A. 若a α⊥，a b ⊥，则b α∥ B. 若a α∥，a b ⊥，则b α⊥ C. 若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥D. 若a α∥，b α∥，则a b【答案】C 【解析】对于选项A ，b 与α可能平行，也可能在平面内，故A 不正确。