，解得
1 3
a
1
，
因此，实数
a
的取值范围是
1 3
,1
，故答案为：
1 3
,1
.
【点睛】本题考查分段函数的最值，解题时要考查分段函数每支的单调性，还需要考查分段
-5-
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函数在分界点出函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二. 选择题
13.已知非空集合
A、B
满足
A
B
，给出以下四个命题：
①若任取 x A ,则 x B 是必然事件
②若 x A ,则 x B 是不可能事件
③若任取 x B ,则 x A 是随机事件
④若 x B ,则 x A 是必然事件
其中正确的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
.
1 9x 3x
【答案】2
【解析】
【分析】
根据求行列式的方法化简得 3x 2 8 3x 9 0 ，这是一个关于 3x 的二次方程，将 3x 看成整
体进行求解即可.
-2-
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11 【详解】方程 1 9
【点睛】本题考查反函数的求解，熟悉反函数的求解是解本题的关键，考查计算能力，属于 基础题.
4.若角 的终边经过点 P(2, 2) ，则 arctan(tan ) 的值为________ 【答案】 .
4
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求出 tan 的值，然后利用反三角函数的定义得出 arctan tan 的值.
y
3
cot
，得
x 2 y 3
csc cot
，所以，
x2 y2 csc2 cot2 1， 49
即曲线的普通方程为 x2 y2 1，该曲线为双曲线，其右焦点坐标为 13, 0 ， 49
故答案为： 13, 0 .
【点睛】本题考查曲线焦点坐标的求解，考查参数方程与普通方程之间的转化，解参数方程 问题，通常将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状并进行求解，考查计算能力，
， O 为原点，有 SAOB
1 2
a1b2
a2b1
.设
M (x1, y1) 、 N (x2 , y2 ) 、 P(x3, y3) 是平面曲线 x2 y2 2x 4 y 上任意三点，则
T x1 y2 x2 y1 x2 y3 x3 y2 的最大值为________
【答案】20.
【解析】
【分析】
n
1 2019
m 1 mn
1 n
1
，
mn
1 mn
1 2019
，即数列an 的公差为
1 2019
，故答案为：
1 2019
.
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，对于等差数列基本量的计算，通常利用首项和公
差建立方程组求解，考查计算能力，属于中等题.
12.已知平面直角坐标系中两点
A(a1, a2 ) 、 B(b1,b2 )
C41 C63
1
，
5
由对立事件的概率知，事件“交大和浙大不同时被选中”的概率为 1
1
4
4
，故答案为：
.
55
5
【点睛】本题考查古典概型的概率公式以及对立事件的概率，在求解事件的概率时，若分类
讨论比较比较繁琐，可考虑利用对立事件的概率来进行计算，考查运算求解能力，属于中等
题.
9.已知 a
0且
a
1，设函数
【详解】由三角函数的定义可得 tan 2 1 ，arctan tan arctan 1 ，
2
4
故答案为： . 4
【点睛】本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义，解本题的关键就是利用三角函数
的定义求出 tan 的值，考查计算能力，属于基础题.
11 1
5.方程 1 9 0 0 的解为
x 2 csc
6.由参数方程
y
3 cot
(
为参数，
n ,n Z ) 所表示的曲线的右焦点坐标为________
【答案】 13, 0 .
【解析】 【分析】 将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状，然后求出曲线的右焦点坐标.
【详解】
Q csc2 1 cot2
，由
x 2 csc
【解析】
【分析】
由集合的包含关系可得 A 中的任何一个元素都是 B 中的元素，B 中至少有一个元素不在 A 中，
结合必然事件、不可能事件和随机事件的概念，即可判断正确的个数
【详解】非空集合 A 、 B 满足 A Ö B ，可得 A 中的任何一个元素都是 B 中的元素， B 中至少
有一个元素不在 A 中，①若任取 x A ，则 x B 是必然事件，故①正确；②若 x A ，则 x B 是可能事件，故②不正确；③若任取 x B ，则 x A 是随机事件，故③正确；④若 x B ， 则 x A 是必然事件，故④正确．其中正确的个数为 3，故选 C.
11.等差数列{an} 中，a1
1 2019
，am
1 n
，则数列{an} 的公差为________
-6-
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1
【答案】
.
2019
【解析】
【分析】
设等差数列an 的公差为 d
-3-
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———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升——————— 属于基础题.
7.平面直角坐标系 xOy 内有点 A(2,1) ，B(2, 2) ，C(0, 2) ，D(0,1) ，将四边形 ABCD 绕直线 y 1旋转一周，所得到几何体的体积为________ 【答案】 2 .
1 9x
1 0 0， 3x
等价于 9 3x 9x 9 3x 0 ，
即 3x 2 8 3x 9 0 ， 化为 3x 13x 9 0
3x 9 或 3x 1 （舍去）， x 2 ，故答案为 2.
【点睛】本题主要考查行列式化简方法以及简单的指数方程，意在考查综合应用所学知识解 答问题的能力，属于基础题.
10.对于给定的复数 z0 ，若满足 | z 2i | | z z0 | 4 的复数 z 对应的点的轨迹是椭圆，则 z0
的取值范围是________
【答案】 0，6 .
【解析】 【分析】
利用椭圆的定义，判断出 z0 在复平面对应的点的轨迹方程，作出图形，结合图形得出 z0 的取
值范围.
【详解】由于满足条件 z 2i z z0 4 的复数 z 对应的点的轨迹是椭圆，
，由 d
am an mn
am a1 m 1
，可计算出 mn 的值，由此可得出数
列an 的公差.
【详解】设等差数列an 的公差为 d
，则 d
am
an
1 n
1 m
mn mn
1
，
m n m n m n mn
又d
am a1 m 1
1 n
1 2019
m 1
，
1 n
1 2019
m 1
1 mn
1
，则
则 z0 2i 4 ，即复数 z0 在复平面内对应的点到点 0, 2 的距离小于 4 ， 所以，复数 z0 在复平面内对应的点的轨迹是以点 0, 2 为圆心，半径长为 4 的圆的内部，
Q z0 的取值范围是0, 6 ，故答案为：0, 6 .
【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应的点的轨迹方程，结合椭圆的定义加以理 解，考查数形结合思想，属于中等题.
【解析】
【详解】由 1 1，可得 1 x ＜0
x
x
即 x x-1＞0
所以不等式 1 1的解为 x 0 或 x 1 x
2.已知直线 l 垂直于平面直角坐标系中的 y 轴，则 l 的倾斜角为________
【答案】0. 【解析】 【分析】
根据直线 l 垂直于 y 轴，可得出直线 l 的倾斜角. 【详解】由于直线 l 垂直于平面直角坐标系中的 y 轴，所以，直线 l 的倾斜角为 0 ，故答案为：
【点睛】本题考查旋转体体积的计算，考查圆柱体积的计算，解题的关键要确定旋转后所得 几何体的形状，考查空间想象能力，属于中等题.
8.某同学从复旦、交大、同济、上财、上外、浙大六所大学中选择三所学校综招报名，则交 大和浙大不同时被选中的概率为________
4
【答案】 .
5
【解析】 【分析】 先利用古典概型的概率公式计算出事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件“交大和浙
5， T x1 y2 x2 y1 x2 y3 x3 y2 x1 y2 x2 y1 x2 y3 x3 y2 2SOMN 2SOPN
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2S四边形OMNP ，
由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，
所以，当四边形 OMNP 为正方形时， T 取最大值，此时正方形的边长为 5 2 10 ，
2
所以，T 2 10 20 ，故答案为： 20 .
【点睛】本题考查圆的几何性质，考查圆内接四边形面积的最值问题，解题时要充分利用题 中代数式的几何意义，利用数形结合思想进行转化，另外了解圆内接四边形中正方形的面积 最大这一结论的应用.