an≥0， an＋1≤0
或aann≤ ＋1≥0，0
来寻.
②运用二次函数求最值.
跟踪训练2 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； 解 由a1＝9，a4＋a7＝0， 得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
跟踪训练3 已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16， S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解答
达标检测
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于
A.13
B.35
√C.49
D.63
解析 S7＝7a12＋a7＝7·a2＋2 a6＝7·3＋211＝49.
A.63
√B.45
C.36
D.27
解析 ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9
－S6构成等差数列，
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
12345
解析 答案
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小 值时n的值为
解答
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？ 解 方法一 由(1)知，a1＝9，d＝－2， Sn＝9n＋nn－ 2 1·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25， ∴当n＝5时，Sn取得最大值. 方法二 由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列. 令 an≥0，则 11－2n≥0，解得 n≤121. ∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0. ∴当n＝5时，Sn取得最大值.
解答
类型三 求数列{|an|}的前n项和 例 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－32n2＋2205n，求数列{|an|}的前 n 项 和 Tn.
解答
反思与感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}.若原等差数 列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关 键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和.
梳理 等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关. (1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相 加即得{Sn}的最大值. (2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相 加即得{Sn}的最小值. (3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0， d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.
[思考辨析 判断正误] 1.等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.( × ) 2.等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na3＋2an－2(n≥3).( √ ) 3.若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则Snn为等差数列.( √ )
题型探究
类型一 等差数列前n项和的性质的应用 例1 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的 前3m项的和S3m；
第二章 §2.3 等差数列的前n项和
第2课时 等差数列前n项和公式的变形及应用
学习目标
1.会利用等差数列性质简化求和运算. 2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 等差数列前n项和与等差中项的关系
思考 答案
等差数列{an}中，若a3＝2，求S5. S5＝5a12＋a5＝5·a1＋2 a5＝5a3＝10.
A.5
√B.6
C.7
D.8
解析 由 7a5＋5a9＝0，得ad1＝－137.
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
因为函数 y＝d2x2＋a1－d2x 的图象的对称轴为 x＝12－ad1＝12＋137＝367，取最
跟踪训练 1 设{an}为等差数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 S7＝7， S15＝75，Tn 为数列Snn的前 n 项和，求 Tn.
解答
类型二 等差数列前n项和的最值问题 例2 在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值.
解答
反思与感悟 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形： ①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和. ②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和. (2)求等差数列前n项和Sn最值的方法： ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
解答
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，已知TSnn＝7nn＋＋32，
求ab55的值.
解
ab55＝1212ab11＋＋ab99＝99ab1122＋ ＋ab99＝ST99＝7×9＋9＋3 2＝6152.
解答
反思与感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用 得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
梳理 等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na12＋an，其中a1＋2 an为 a1，an 的 等差中项，若结合性质“m＋n＝p＋q 得 am＋an＝ap＋aq，”还可把 a1 ＋an 换成 a2＋an－1，a3＋an－2，….
知识点二 等差数列前n项和的最值
思考 我们已经知道当公差 d≠0 时，等差数列前 n 项和是关于 n 的二次 函数 Sn＝d2n2＋a1－d2n，类比二次函数的最值情况，等差数列的前 n 项 和 Sn 何时有最大值？何时有最小值？ 答案 由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn先减后增，有 最小值；当a1＞0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称 轴的正整数时，Sn取到最值.
12345
解析 答案
2.若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于
A.12
√B.13
C.14
D.15
解析 ∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，∴d＝a3－a2＝5－3＝2，
∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故选B.
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解析 答案
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于