《三角形的外角》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．75°B．105°C．110°D．120°2．（5分）在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（）A．60B．65C．70D．803．（5分）如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知∠A＝40°，∠C＝20°，∠ADC＝120°，若∠ABC的平分线BE经过点D，则∠ABE的度数（）A．20°B．30°C．40°D．60°4．（5分）如图，∠1的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°5．（5分）如图所示的图形中x的值是（）A．60B．40C．70D．80二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C的外角等于．7．（5分）三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为．8．（5分）如图，BD与CD分别平分∠ABC、∠ACB的外角∠EBC、∠FCB，若∠A＝80°，则∠BDC＝．9．（5分）如图，∠A＝70°，∠B＝26°，∠C＝20°，则∠BDC＝°．10．（5分）如图，△ABC中，BD为△ABC内角平分线，CE为△ABC外角平分线，若∠BDC ＝130°，∠E＝50°，则∠BAC的度数为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．（1）求∠CBE的度数；（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．12．（10分）CE是△ABC的一个外角∠ACD的平分线，且EF∥BC交AB于点F，∠A＝60°，∠CEF＝50°，求∠B的度数．13．（10分）如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线．（1）求证：∠A＝2∠E，以下是小明的证明过程，请在括号里填写理由．证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，（已知）∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（）∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性质）∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线（已知）∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（）∴∠A＝2∠2﹣2∠1（）＝2（∠2﹣∠1）（）＝2∠E（等量代换）（2）如果∠A＝∠ABC，求证：CE∥AB．14．（10分）已知，直线PQ∥MN，△ABC的顶点A与B分别在直线MN与PQ上，点C 在直线AB的右侧，且∠C＝45°，设∠CBQ＝∠α，∠CAN＝∠β．（1）如图1，当点C落在PQ的上方时，AC与PQ相交于点D，求证：∠β＝∠α+45°．请将下列推理过程补充完整：证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），∴∠CDQ＝∠α+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵PQ∥MN（），∴∠CDQ＝∠β（）．∴∠β＝（等量代换）．∵∠C＝45°（已知），∴∠β＝∠α+45°（等量代换）（2）如图2，当点C落在直线MN的下方时，BC与MN交于点F，请判断∠α与∠β的数量关系，并说明理由．15．（10分）如图，AC平分∠DCE，且与BE的延长线交于点A．（1）如果∠A＝35°，∠B＝30°，则∠BEC＝．（直接在横线上填写度数）（2）小明经过改变∠A，∠B的度数进行多次探究，得出∠A、∠B、∠BEC三个角之间存在固定的数量关系，请你用一个等式表示出这个关系，并进行证明．解：（2）关系式为：证明：《三角形的外角》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．75°B．105°C．110°D．120°【分析】根据图形求出∠1，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：如图，∠1＝90°﹣45°＝45°，则∠α＝60°+45°＝105°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．2．（5分）在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（）A．60B．65C．70D．80【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．【解答】解：∵与∠ABC相邻的外角＝∠A+∠C，∴x+65＝x﹣5+x，解得x＝70．故选：C．【点评】本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．3．（5分）如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知∠A＝40°，∠C＝20°，∠ADC＝120°，若∠ABC的平分线BE经过点D，则∠ABE的度数（）A．20°B．30°C．40°D．60°【分析】首先证明∠ADC＝∠A+∠C+∠ABC，求出∠ABC即可解决问题．【解答】解：∵∠ADE＝∠ABD+∠A，∠EDC﹣∠DBC+∠C，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠A+∠C+∠ABC，∴120°＝40°+20°+∠ABC，∴∠ABC＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，故选：B．【点评】本题考查三角形的外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．（5分）如图，∠1的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∠2＝180°﹣140°＝40°，∴∠1＝80°+40°＝120°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．5．（5分）如图所示的图形中x的值是（）A．60B．40C．70D．80【分析】根据三角形的外角的性质构建方程即可解决问题；【解答】解：由三角形的外角的性质可知：x+70＝x+10+x，解得x＝60．故选：A．【点评】本题考查三角形的外角的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C的外角等于105°．【分析】利用三角形的外角的性质即可解决问题．【解答】解：由题意：∠C的外角＝∠A+∠B＝60°+45°＝105°，故答案为105°．【点评】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．7．（5分）三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为5：4：3．【分析】先根据三个内角度数的比设未知数，根据三角形的内角和列一元一次方程求出x 的值，再求其对应的三个外角的度数并求比值即可．【解答】解：设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，则x+2x+3x＝180，6x＝180，x＝30，∴三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°，则三个外角的度数比为：150°：120°：90°＝5：4：3，故答案为：5：4：3．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和外角的性质，比较简单，明确三角形的内角和为180°，并熟知三角形的一个内角与其相邻的外角和为180°．8．（5分）如图，BD与CD分别平分∠ABC、∠ACB的外角∠EBC、∠FCB，若∠A＝80°，则∠BDC＝50°．【分析】先根据BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线可知∠DBC＝∠EBC，∠BCD ＝∠BCF，再由∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角得出∠CBE+∠BCF＝180°+∠A ＝260°，故∠DBC+∠BCD＝（∠EBC+∠BCF）＝130°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】证明：BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线∴∠DBC＝∠EBC，∠BCD＝∠BCF，∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角∴∠CBE+∠BCF＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A＝260°，∴∠DBC+∠BCD＝（∠EBC+∠BCF）＝130°在△DBC中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝180°﹣130°＝50°，故答案为：50°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．9．（5分）如图，∠A＝70°，∠B＝26°，∠C＝20°，则∠BDC＝116°．【分析】BD交AC于H，根据三角形内角和定理，即可得到∠AHB的度数，再三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：如图，延长BD交AC于H，则∠AHB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣96°＝84°，又∵∠C＝20°，∴∠CDH＝84°﹣20°＝64°，∴∠BDC＝180°﹣∠CDH＝116°，故答案为：116．【点评】本题考查的是三角形的内角和定理以及外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．10．（5分）如图，△ABC中，BD为△ABC内角平分线，CE为△ABC外角平分线，若∠BDC ＝130°，∠E＝50°，则∠BAC的度数为120°．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及CE是外角的平分线列式求出∠B的度数，再根据BD为内角平分线求出∠ABD的度数，然后利用三角形的外角性质即可求出∠BAC的度数．【解答】解：根据三角形的外角性质，∠DBC+∠BDC＝2（∠ABC+∠E），∵BD为内角平分线，∴∠DBC＝∠ABD，∴∠ABC+130°＝2（∠ABC+50°），解得∠ABC＝20°，∴∠ABD＝×20°＝10°，在△ABD中，∠BDC＝∠ABD+∠BAC，即130°＝10°+∠BAC，解得∠BAC＝120°．故答案是：120°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理与三角形的外角性质，角平分线的定义，根据外角平分线求出∠ABC的度数是解题的关键，也是解答本题的突破口，有一定的技巧．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．（1）求∠CBE的度数；（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由邻补角定义得出∠CBD＝130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE＝65°；（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据∠F＝25°，即可得出BE∥DF．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．又∵∠F＝25°，∴∠F＝∠CEB＝25°，∵DF∥BE．【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．12．（10分）CE是△ABC的一个外角∠ACD的平分线，且EF∥BC交AB于点F，∠A＝60°，∠CEF＝50°，求∠B的度数．【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ACB的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠ECD＝50°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD，∴∠ACE＝∠ACE+∠ECD＝100°，∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣100°＝80°，∴∠B＝180°﹣（∠A+∠ACB）＝180°﹣60°﹣80°＝40°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．13．（10分）如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线．（1）求证：∠A＝2∠E，以下是小明的证明过程，请在括号里填写理由．证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，（已知）∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（三角形外角的性质）∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性质）∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线（已知）∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（角平分线的性质）∴∠A＝2∠2﹣2∠1（等量代换）＝2（∠2﹣∠1）（提取公因数）＝2∠E（等量代换）（2）如果∠A＝∠ABC，求证：CE∥AB．【分析】（1）根据角平分线的性质以及三角形外角的性质即可求证；（2）由（1）可知：∠A＝2∠E，由于∠A＝∠ABC，∠ABC＝2∠ABE，所以∠E＝∠ABE，从而可证AB∥CE．【解答】解：（1）∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，（已知），∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（三角形外角的性质），∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性质），∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线（已知），∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（角平分线的性质），∴∠A＝2∠2﹣2∠1（等量代换），＝2（∠2﹣∠1）（提取公因数），＝2∠E（等量代换）；（2）由（1）可知：∠A＝2∠E∵∠A＝∠ABC，∠ABC＝2∠ABE，∴2∠E＝2∠ABE，即∠E＝∠ABE，∴AB∥CE．【点评】本题考查三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形外角的性质，角平分线的性质，需要学生灵活运用所学知识．14．（10分）已知，直线PQ∥MN，△ABC的顶点A与B分别在直线MN与PQ上，点C 在直线AB的右侧，且∠C＝45°，设∠CBQ＝∠α，∠CAN＝∠β．（1）如图1，当点C落在PQ的上方时，AC与PQ相交于点D，求证：∠β＝∠α+45°．请将下列推理过程补充完整：证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），∴∠CDQ＝∠α+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵PQ∥MN（已知），∴∠CDQ＝∠β（两直线平行，同位角相等）．∴∠β＝∠α+∠C（等量代换）．∵∠C＝45°（已知），∴∠β＝∠α+45°（等量代换）（2）如图2，当点C落在直线MN的下方时，BC与MN交于点F，请判断∠α与∠β的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据题意可以写出推理过程，从而可以解答本题；（2）根据三角形外角的性质和三角形的内角和即可得到结论．．【解答】解：（1）证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），∴∠CDQ＝∠α+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵PQ∥MN（已知），∴∠CDQ＝∠β（两直线平行，同位角相等）．∴∠β＝∠α+∠C（等量代换）．∵∠C＝45°（已知），∴∠β＝∠α+45°（等量代换）；故答案为：已知，两直线平行，同位角相等，∠α+∠C，（2）证明：∵∠CFN是△ACF的一个外角（三角形外角的定义），∴∠CFN＝∠β+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∵PQ∥MN（已知），∴∠CFN＝∠α（两直线平行，同位角相等）∴∠α＝∠β+∠C（等量代换）．∵∠C＝45°（已知），∴∠α＝∠β+45°（等量代换）．【点评】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．（10分）如图，AC平分∠DCE，且与BE的延长线交于点A．（1）如果∠A＝35°，∠B＝30°，则∠BEC＝100°．（直接在横线上填写度数）（2）小明经过改变∠A，∠B的度数进行多次探究，得出∠A、∠B、∠BEC三个角之间存在固定的数量关系，请你用一个等式表示出这个关系，并进行证明．解：（2）关系式为：证明：【分析】（1）依据三角形外角性质，即可得到∠ACD＝∠A+∠B＝65°，依据AC平分∠DCE，可得∠ACE＝∠ACD＝65°，进而得出∠BEC＝∠A+∠ACE＝35°+65°＝100°；（2）依据AC平分∠DCE，可得∠ACD＝∠ACE，依据三角形外角性质可得∠BEC＝∠A+∠ACE＝∠A+∠ACD，根据∠ACD＝∠A+∠B，即可得到∠BEC＝∠A+∠A+∠B＝2∠A+∠B．【解答】解：（1）∵∠A＝35°，∠B＝30°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝65°，又∵AC平分∠DCE，∴∠ACE＝∠ACD＝65°，∴∠BEC＝∠A+∠ACE＝35°+65°＝100°，故答案为：100°；（2）关系式为∠BEC＝2∠A+∠B．理由：∵AC平分∠DCE，∴∠ACD＝∠ACE，∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝∠A+∠ACD，∵∠ACD＝∠A+∠B，∴∠BEC＝∠A+∠A+∠B＝2∠A+∠B．【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．。