河西区2020—2021学年度第一学期高二年级期末质量调查数学试卷一､选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 数列1，-12，4-，14，…的一个通项公式为（ ） A. 112n -⎛⎫-⎪⎝⎭B. 2n⎛- ⎝⎭C. ()112n n -⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D. ()1112n n -+⎛-⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】可知该数列是一个以1为首项，2-为公比的等比数列，即可求出通项公式. 【详解】根据数列可知，该数列是一个以1为首项，所以该数列的通项公式为()()()11121+11111222n n n n n ----⎛⎛⎫⎛⨯-=-⨯-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.2. 设函数2()1f x x =-，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ） A. 2.1 B. 0.21 C. 1.21 D. 0.121【答案】A 【解析】 【分析】根据平均变化率的公式求解即可.【详解】 1.110.1x ∆=-=，22(1.1)(1) 1.11(11)0.21y f f ∆=-=---= 所以函数2()1f x x =-在区间[1,1.1]上的平均变化率为(1.1)(1)0.212.10.1y f f x x ∆-===∆∆.故选：A3. 已知数列{}n a 满足12a =，112n n a a -=-，则5a =（ ）A.65B.76C.54D.56【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系依次求出2345,,,a a a a 即可.【详解】12a =，112n n a a -=-，∴211322a a =-=，321423a a =-=，431524a a =-=，541625a a =-=. 故选：A.4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式与求和公式，列出关于首项与公差的方程组，解方程组即可得到公差．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=， 联立11272461548a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得4d =. 故选：C.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的简单应用，注意计算，属于基础题．5. 已知函数()y f x=，其导函数()y f x'=的图象如图，则对于函数()y f x=的描述正确的是（）A. 在(),0-∞上为减函数B. 在0x=处取得最大值C. 在()4,+∞上为减函数D. 在2x=处取得最小值【答案】C【解析】分析：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．详解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知：f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．可知C正确，A错误；由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误．故选C．点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x）＞0得增区间，由f′（x）＜0得减区间，由f′（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x）的符号是否发生改变.6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是（）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】C【解析】 【分析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列{}n a ，根据7381S =即可求出. 【详解】设顶层的灯数是1a ，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列{}n a ， 由题可得()7171238112a S -==-，解得13a =，故塔的顶层的灯数是3. 故选：C. 7. 函数()212cos x y e x x -+=-+的导数为（ ）A. ()()21222sin (21)cos x y ex x x x x -+⎡=-+--'⎣B. ()()21222cos (21)sin x y ex x x x x -+⎡⎤'=--+--⎣⎦C. ()()21222sin (21)cos x y e x x x x x -+⎡⎤'=--+--⎣⎦D. ()()21222cos (21)sin x y ex x x x x -+⎡⎤'=-+--⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由导数运算法则可求出. 【详解】()212cos x y e x x -+=-+，()()()212212cos +cos x x e x x e x y x -+-+''⎡⎤-+-+'⎣∴⎦= ()()()2122122cos sin 2+1x x e x x e x x x -+-+=--+--+⋅-()()()2122cos +2+1si 2n x e x x x x x -+⎡⎤=--+--+⎣⎦()()21222cos (21)sin x e x x x x x -+⎡⎤=--+--⎣⎦.故选：B.8. 已知等比数列的首项为-1，前n 项和为n S ，若1053132S S =，则公比q =（ ）A. 2B. -2C.12D. 12-【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列前n 项和公式，可求得105,S S 表达式，结合题干条件，即可求得q 的值.【详解】当公比1q =时，1052S S =，不满足题意，当1q ≠时，101011q S q -=-，5511q S q-=-， 所以1051055131111321q S q q q S q--==+=--，解得12q =-， 故选：D9. 已知函数()ln ,111,14x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，()g x ax =则方程()()g x f x =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）． A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,e 4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】作出函数()f x 与()g x 的图象,讨论交点个数可求出a 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象,见下图. 若()g x 与()ln 1y x x =>相切,求导得1y x'=,设切点为()00,x y ,则00ln y x =,切线斜率为01x ,即切线方程为:()0001ln y x x x x -=-,该切线过原点,则()00010ln 0x x x -=-,解得0e x =,此时1e a =,显然()1eg x x =与()f x 的图象只有一个交点,即方程()()g x f x =只有一个实根;若114ea ≤<,直线()g x 与()f x 的图象在1x ≤时无交点,在1x >时有2个交点,符合题意; 若104a <<,直线()g x 与()f x 的图象在1x ≤时有1个交点,在1x >时有2个交点,不符合题意;若0a ≤,直线()g x 与()f x 的图象在1x ≤时有1个交点,在1x >时无交点,不符合题意; 若1e>a ,,直线()g x 与()f x 的图象至多有一个交点,不符合题意. 所以只有114ea ≤<符合题意. 故选:B.【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的关系,考查了曲线的切线方程的求法,利用数形结合的数学方法是解决本题的关键,属于难题.二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.10. 在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，若412S =，840S =，则16S =________. 【答案】144 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式求出首项和公差，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d ，则4181434+122878+402S a d S a d ⨯⎧==⎪⎪⎨⨯⎪==⎪⎩，解得13,12a d ==，163161516+114422S ⨯∴=⨯⨯=.故答案为：144. 11. 函数ln ()x f x x=，其导函数为函数()'f x ，则()f e '=________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据()f x 解析式，可求得()'f x 解析式，代入数据，即可得答案.【详解】因为ln ()(0)x f x x x=≠，所以2221ln (ln )ln 1ln ()x xx x x x x x f x x x x ⋅-''--'===， 所以21ln ()0ef e e-'==， 故答案：012. 已知数列{}n a 的通项公式21n a n n=+，n S 为其前n 项的和，则99S =________. 【答案】99100【解析】 【分析】根据数列{}n a 的通项公式21111n a n n n n ==-++，利用裂项相消法求解. 【详解】因为数列{}n a 的通项公式21111n a n n n n ==-++， 所以99111111991122399100100100S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故答案：9910013. 函数3()3f x x x =-的单调递增区间是________. 【答案】()1,1- 【解析】 【分析】求出函数的导数，令()0f x '>即可求出.【详解】3()3f x x x =-，()233f x x '∴=-，令()0f x '>，即2330x ->，解得11x -<<，()f x ∴的单调递增区间是()1,1-.故答案为：()1,1-. 14. 已知数列{}n a 的通项公式为3217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取得最小值时n 的值为_________. 【答案】8 【解析】 【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出n S 的单调性可求出. 【详解】令30217n n a n -=≥-，解得3n ≤或172n ≥，∴当3n ≤时，0n a ≥，n S 单调递增，当47n ≤≤时，0n a <，n S 单调递减， 当8n ≥时，0n a >，n S 单调递增， 所以n S 取得最小值时n 的值为8. 故答案为：8.【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法，解题的关键是根据数列的正负判断n S 的单调性.15. 将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题可得该方盒的容积()32424+36V x x x x =-，03x <<，利用导数判断其单调性可求出最值.【详解】由题可得03x <<，可知该方盒的底面是一个边长为62x -， 则该方盒的容积()()23262424+36V x x x x x x =-⋅=-，03x <<，()()()21248+361213V x x x x x '∴=-=--，则当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 单调递增， 当()1,3x ∈时，()0V x '<，()V x 单调递减，∴当1x =时，()()max 116V x V ==，故当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为1. 故答案为：1.三､解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知函数31()443f x x x =-+. （1）求()f x 的极值； （2）求()f x 在[]0,3上的最值. 【答案】（1）极大值为283，极小值为43-；（2）最大值为4，最小值为43-.【解析】 【分析】（1）求导，解对应的不等式，可得函数的单调性，从而可知函数的极值. （2）根据（1）的结果，再计算端点值，比较大小，即可得出最值. 【详解】（1）()31443f x x x =-+，()()()2422f x x x x =-=+-'令()0f x '=，解得2x =-或2x =，当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：故当2x =-时，()f x 取得极大值，()2823f -=；当2x =时，()f x 取得极小值，()8428433f =-+=-；（2）由（1）可知()f x 的极大值为283，极小值为43-，又()04f =，()391241f =-+=，因为4143-<<，所以()f x 在[]0,3上的最大值为4，最小值为43-. 【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求函数的极值与闭区间上的最值，设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，求()f x 在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： ①求函数()y f x =在(),a b 内的极值；②将函数()y f x =)的各极值与端点处的函数值()(),f a f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 17. 已知函数()()ln 2xf x e x =-+.（1）求()f x 在()()0,0f 处的切线方程； （2）求证：()0f x >. 【答案】（1）11ln 22y x =+-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导函数，由()0k f '=，可得答案.（2）求出()f x 的导函数，讨论出函数()f x 的单调性，得出其最小值，可证明. 【详解】（1）解：1()2xf x e x '=-+， 当0x =时，()102k f '==， 又()01ln 2f =-，所以切线方程为()11ln 22y x --=，即11ln 22y x =+-.（2）解：1()2x f x e x '=-+在区间()2,-+∞上单调递增， 又()10f '-<，()00f '>，故()0f x '=在区间()2,-+∞上有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-，当()02,x x ∈-时，()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值.由()00f x '=，得0012x e x =+，()00ln 2x x +=-， 故()()20000011()022x f x f x x x x +≥=+=>++. 【点睛】本题考查求函数在某点出的切线方程和利用导数证明不等式.解答本题的关键是由1()2x f x e x '=-+在区间()2,-+∞上单调递增，得出()0f x '=在区间()2,-+∞上有唯一实根0x ，从而得出()f x 的单调区，即()()20000011()22x f x f x x x x +≥=+=++，属于中档题. 18. 对于数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 是前n 项和，且1(1)n n n S n S a n +-+=++，111a b ==，132,n n b b n N *+=+∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令2()(1)n n n a n c n b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n a n =，1231n n b -=⋅-;（2）11525443n n n T -+=-⋅． 【解析】试题分析: （1）先根据和项与通项关系，将条件转化为项之间递推关系：121n n a a n +=++，再根据叠加法求数列{}n a 的通项公式；而求{}n b 通项公式，需变形构造一个等比数列{1}n b +，这是由于132n n b b +=+可变形得()1131n n b b ++=+，然后通过求等比数列通项公式，转化求{}n b 通项公式，（2）由于113n n n c -+=，所以利用错位相减法求和，求和时注意错位相减，减式中项的符号变化，合并时项数的确定，最后结果要除以1.q -试题解析:（1））因为()11n n n S n S a n +-+=++，所以121n n a a n +=++， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()212331n n =-+-+++ ()2112n n -+= 2n =，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =，由132n n b b +=+，可得()1131n n b b ++=+，所以数列{1}n b +是首项为112b +=，公比为3的等比数列，所以1123n n b -+=⋅，所以数列{}n b 的通项公式为1231n n b -=⋅-．（2）由（1）可得()21121233nn n n n n c n --++==⋅， 所以01221234133333n n n n n T --+=+++++ ①， 0013223341333333n n n n n T --⨯+=+++++ ②， ②-①得122111111111115253261613333322313n n n n n n n n n T ------+++⎛⎫=++++⋯+-=+-=- ⎪⋅⎝⎭-， 所以11525443n n n T -+=-⋅．。