河西区2019—2020学年度第一学期高二年级期末质量调查数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量(2,0,1)a =-r ，向量(0,1,2)b =-r ，则2a b -=r r （ ）A. (4,1,0)-B. (4,1,4)--C. (4,1,0)-D. (4,1,4)--【答案】C【解析】【分析】 由111(,,)m x y z =u r ，222(,,)n x y z =r ，则122212(,,)m n x x x y z z -=---u r r ，代入运算即可得解.【详解】解:因为向量(2,0,1)a =-r ，向量(0,1,2)b =-r， 则2(4,0,2)a =-r ,则2a b -=r r (4,1,0)-,故选:C.【点睛】本题考查了向量减法的坐标运算，属基础题.2.设P 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上的一动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. 2bB. 2aC. bD. a 【答案】B【解析】【分析】 由椭圆的定义122PF PF a +=即可得解.【详解】解：设椭圆的两个焦点为12,F F ，点P 为椭圆上的点， 由椭圆的定义有：122PF PF a +=，故选：B.【点睛】本题考查了椭圆的定义，属基础题.3.抛物线214x y =的准线方程是（ ）A. 116x =B. 116x =-C. 2x =-D. 1x =-【答案】D【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，再求抛物线的准线方程即可. 【详解】解：由抛物线的方程为214x y =， 化为标准式可得24y x =， 即抛物线24y x =的准线方程是：1x =-，故选：D. 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，重点考查了抛物线的准线方程，属基础题.4.中心在坐标原心、焦点在x 轴，且长轴长为18、焦距为12的椭圆的标准方程为( ) A. 22x y 18172+= B. 22x y 1819+= C. 22x y 18145+= D. 22x y 18136+= 【答案】A【解析】【分析】 根据条件，求得a 、b 、c 的值，进而可得椭圆的标准方程．【详解】由题可得218a =，26c =，故281a =，272b =，又焦点在x 轴上，所以所求椭圆的标准方程为2218172x y +=， 故选A ．【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，注意焦点的位置，属于基础题．5.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若1,,AB a AA c BC b ===u u u r u u u r u u u r ，则BM u u u u r 可表示为（ ）A. 1122a b c -++ B.1122a b c ++ C. 1122a b c --+ D. 1122a b c -+ 【答案】A【解析】 111111()()2222BM BB B M c BA BC c a b a b c =+=++=+-+=-++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r r r r r Q r r r ,故本题正确答案为.A 6.已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 A. 283x y = B. 2163x y = C. 28x y = D. 216x y = 【答案】D【解析】由e=c a =2得4=22c a =1+22b a, ∴22b a=3. ∴双曲线的渐近线方程为3抛物线x 2=2py 的焦点是（0,2p ）,它到直线的距离d=2=22p ±=4p , ∴p=8.∴抛物线方程为x 2=16y.故选D.7.若两个向量()()1,2,3,3,2,1AB AC ==u u u v u u u v ,则平面ABC 的一个法向量为（ ）A. ()1,2,1--B. ()1,2,1C. ()1,2,1-D. ()1,2,1-【答案】A【解析】【分析】设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =r ，根据数量积等于0，列出方程组，即可求解.【详解】设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =r ， 则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即230320x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，令1x =-，则2,1y z ==-， 即平面ABC 的一个法向量为(1,2,1)n =--v，故选A.【点睛】本题主要考查了平面的法向量的求解，其中解答中根据法向量与平面内的两个不共线的向量垂直，列出关于,,x y z 的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8.已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，O 为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且4AF =，则PA PO +的最小值为（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】求出A 点坐标，作O 关于准线的对称点M ，利用连点之间相对最短得出AM 为PA PO +的最小值．【详解】解：抛物线的准线方程为2y =-， ∵4AF =，∴A 到准线的距离为4，故A 点纵坐标为2， 把2y =代入抛物线方程可得4x =±．不妨设A 在第一象限，则()4,2A ，点O 关于准线2y =-的对称点为()0,4M -，连接AM ，则PO PM =，于是PA PO PA PM AM +=+≥故PA PO +的最小值为2246213AM =+=．故选B ．【点睛】本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．9.设12F F 、分别为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，12F F 、为直径的圆交双曲线某条渐近线于M N 、两点，且满足120MAN ︒∠=，则双曲线的离心率为（ ）A. 33 21 C. 23 D. 103【答案】B【解析】【分析】先求出双曲线渐近线方程，然后求出(,),(,)M a b N a b --，再利用向量数量积运算即可得解.【详解】解：由双曲线方程为22221x y a b-=，则其渐近线方程为b y x a=±， 联立222222x y c b y x a c a b⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩或x a y b =-⎧⎨=-⎩， 即(,),(,)M a b N a b --，又(,0)A a -，则(2,)AM a b =u u u u r ，(0,)AN b =-u u u r ，则21()2AM AN b ⋅=-=-u u u u r u u u r ， 解得2234b a =，即2223()4c a a -=，即2237c a =，即3c e a ==， 故选：B.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，重点考查了双曲线的离心率，属中档题.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分.10.若向量(,1,3)a x =-r ，向量(2,,6)b y =r ，且//a b r r ，则x =_____，y =_____.【答案】 (1). 1 (2). -2【解析】【分析】 由题意可得1326x y -==，再求解即可. 【详解】解：由向量(,1,3)a x =-r ，向量(2,,6)b y =r ，且//a b r r ， 则1326x y -==， 解得：x 1,y 2==-，故答案为：1，-2.【点睛】本题考查了空间向量共线的坐标运算，属基础题.11.若双曲线221916x y -=上一点P 到左焦点的距离为4，则点P 到右焦点的距离是 . 【答案】10【解析】试题分析：由双曲线方程可知293,26a a a =∴==，由定义122PF PF a -=得210PF =考点：双曲线定义点评：双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值等于2a12.若方程22151x y m m +=--表示焦点在y 轴的椭圆，则实数m 的取值范围是_____. 【答案】(3,5)【解析】【分析】由椭圆的几何性质可得501015m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，再解不等式组即可得解. 【详解】解：由方程22151x y m m +=--表示焦点在y 轴的椭圆， 则501015m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得：513m m m <⎧⎪>⎨⎪>⎩，即35m <<，故答案为：(3,5). 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，属基础题.13.在空间直角坐标系O xyz -中，(1,2,1)A -，(1,1,1)B ，(0,1,2)C ，则异面直线OA 与BC 所成角的余弦值为______.【解析】【分析】先求出向量OA u u u r 与BC u u u r 所成角的余弦值，再求异面直线OA 与BC 所成角的余弦值即可.【详解】解：由(1,2,1)A -，(1,1,1)B ，(0,1,2)C ，则(1,2,1)OA =-u u u r ,(1,0,1)BC =-u u u r ,则向量OA u u u r 与BC u u u r所成角的余弦值为3OA BC OA BC⋅==-u u u r u u u r u u u r u u u r , 则异面直线OA 与BC【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，重点考查了空间向量的应用，属基础题.14.已知过点M （1，0）的直线AB 与抛物线y 2=2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ，OB 的斜率之和为1，则直线AB 方程为______．【答案】2x +y -2=0【解析】【分析】设直线AB 的方程并代入抛物线方程，根据韦达定理以及斜率公式，可得t 的值，进而得到直线的方程．【详解】依题意可设直线AB 的方程为：x=ty+1，代入y 2=2x 得2220y ty --=，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1y 2=-2，y 1+y 2=2t ， 所以12121212122()22422OA OB y y y y t k k t x x y y y y ++=+=+===--，∴21t -=，解得12t =-， ∴直线AB 的方程为：x=12y -+1，即2x+y-2=0． 故答案为2x+y-2=0． 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，以及直线方程的求解，其中设出直线的方程，代入抛物线的方程，利用韦达定理以及斜率公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题． 15.在空间直角坐标系O xyz -中，(2,2,2)a x y =--r ，(3,2,3)b x y x =-r ，且12a b ⋅=r r ，则222m x y x =++的最小值是________，最大值是__________.【答案】 (1). 0 (2). 8【解析】【分析】 先利用空间向量数量积运算可得22143x y +=，再利用椭圆的参数方程求最值即可得解. 【详解】解：因为(2,2,2)a x y =--r ，(3,2,3)b x y x =-r ，且12a b ⋅=r r ，所以2223(2)(2)(2)(3)3412x x y x x y -++-⨯-=+=， 即22143x y +=，设2cos ,x y θθ==，则22222224cos 3sin 4cos cos 4cos 3(cos 2)1m x y x θθθθθθ=++=++=++=+- ， 又[]cos 1,1θ∈-，则min 0m =，max 8m =故答案为：0，8.【点睛】本题考查了空间向量数量积运算，重点考查了椭圆的参数方程，属中档题.三.解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M . （1）求双曲线C 的方程；（2）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.【答案】（1）2212y x -=；（2）实轴长2 【解析】【分析】（1）由共渐近线双曲线方程的求法求解即可；（2）由双曲线方程及点到直线距离求解即可.【详解】解：（1）解：在双曲线22142-=y x 中，2a '=，b '=，则渐近线方程为a y x b''=±=，∵双曲线2222:1x y C a b -=与双曲线22142-=y x 有相同的渐近线， 2b a∴=， ∴方程可化为222212x y a a-=， 又双曲线C 经过点(2,2)M -，代入方程，222212a a∴-=，解得1a =，2b =， ∴双曲线C 的方程为2212y x -=. （2）解；由（1）知双曲线22:12y C x -=中， 1a =Q ，2b =，3c =，∴实轴长22a =，离心率为3==c e a， 设双曲线C 的一个焦点为(3,0)-，一条渐近线方程为2y x =， |32|221d -⨯∴==+， 即焦点到渐近线的距离为2.【点睛】本题考查了共渐近线双曲线方程的求法，重点考查了点到直线的距离，属基础题. 17.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点.（1）证明：//PA 平面BDE ；（2）求二面角B DE C --的余弦值；（3）若点F 在线段PB （不包含端点）上，且直线PB ⊥平面DEF ，求线段DF 的长.【答案】（1）证明见解析（23【解析】【分析】（1）建立以D 为坐标原点，分别以DA DC DP 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，再标出点的坐标，利用空间向量的应用即可得证；（2）求出平面BDE 的一个法向量，平面DEC 的一个法向量，再利用数量积公式求解即可；（3）假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，由0PB DF ⋅=u u u r u u u r求解即可.【详解】证明：（1）以D 为坐标原点，分别以DA DC DP 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，则(2,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,2,0)B ， 则(2,0,2)PA =-u u u r ，(0,1,1)DE =u u u r ，(2,2,0)DB u u u r =，设1(,,)n x y z =u r 是平面BDE 的一个法向量，则由1100n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，得0220y z x y +=⎧⎨+=⎩，取1y =-，得1(1,1,1)n =-u u r . 1220PA n ⋅=-=u u u r u u r Q ，1PA n ∴⊥u u u r u u r ，又PA ⊄平面BDE ，//PA ∴平面BDE .（2）解：由（1）知1(1,1,1)n =-u u r 是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==u u r u u u r 是平面DEC 的一个法向量.设二面角B DE C --的平面角为θ，由图可知12,n n θ=<>u u r u u r，112212cos cos ,3n n n n n n θ⋅∴=<>==⋅u u u r u u r u u r u u u r u u r r , 故二面角B DE C --（3）假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设(01)PF PB λλ=<<u u u r u u u r ，(,,)F x y z则(,,2)(2,2,2)x y z λ-=-，(2,2,22)F λλλ∴-，(2,2,22)DF λλλ=-u u u r ，(2,2,2)PB =-u u u r ，由0PB DF ⋅=u u u r u u u r 得442(22)0λλλ+--=， 解得13λ=，224,,333F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 则22222426||333DF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r .【点睛】本题考查了空间向量的综合应用，重点考查了运算能力，属中档题.18.已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)3F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜23O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）22y x =±- 【解析】试题分析：设出F ，由直线AF求得c ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF的斜率为3，()0,2A -所以2c =c =又222c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=. （2）解：设()()1122,,,P x y Q x y由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-， 联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即2k <-或2k >时 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ===点O 到直线l 的距离d =所以21214OPQ S d PQ k∆==+，0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++，当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.。