天津市河西区2020-2021学年高二上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在复平面内，复数 （i为虚数单位）对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的是
7．已知抛物线 的焦点F恰好是双曲线 的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（）
A． B．2C． ＋1D． －1
8．若不等式 对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知复数 的共轭复数为 ， ，则复数 的虚部是_______
10．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 _____
三、解答题
15．已知复数 ．
（1）当 时，求复数 的模．
（2）若复数 为纯虚数，求 的值．
16．求下列不等式的解集：
（1） ；
（2） .
17．已知双曲线的标准方程为 ．
（1）求双曲线的实轴长和离心率．
（2）求双曲线的焦点到渐近线的距离．
18．如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形， 底面 ， 是棱 的中点，且 ， ．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了抛物线的性质,属于基础题型.
5．C
【分析】
由向量平行，坐标对应成比例可求得x.
【详解】
由题意可知，因为 ，所以 ，所以x=-4,选C.
【点睛】
本题考查空间向量平行的坐标关系，两向量平行，坐标对应成比例．
6．B
【分析】
根据充分必要条件的定义，结合不等式的性质，即可判断．
【详解】
故选： ．
【点睛】
本题考查复数的除法运算和复数与复平面的对应关系，属于基本概念、基本运算的考查．
2．D
【分析】
直接根据不等式的性质和指数函数单调性可得答案．
【详解】
对 ， 才能成立，故 错误；
对 ，若 ，但 不成立，故 错误；
对 ，若 ，但 不成立，故 错误；
对 ，因为函数 在 上单调递减，所以 ，则 ，故 正确；
A． B． C． D．
3．命题“ ， ”的否定是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为（）
A．2B．1C． D．
5．已知 ,且 ，则x=( )
A．5B．4C．-4D．-5
6．“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
13．
【分析】
由“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件，得“ ” “ 或 ”，由此能求出实数 的取值范围．
【详解】
“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件，
“ ” “ 或 ”， 前面是后面的真子集，
考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质.
8．C
【分析】
将不等式转化为 ，再对二次项系数进行分类讨论，结合一元二次不等式在 上恒成立，即可求得参数范围.
【详解】
由题意，不等式 ，可化为 ，
当 ，即 时，不等式恒成立，符合题意；
当 时，要使不等式恒成立，需 ，
解得 ，
综上所述，所以 的取值范围为 ，
故选： .
（1）求证： 平面 ．
（2）求二面角 的大小；
（3）如果 是棱 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
19．已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和为 ．
20．已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4
11．已知椭圆 上一点 到椭圆的左焦点 的距离为3，点 是 的中点，则点 到坐标原点 的距离为_______．
12．已知正实数 满足 ，则 的最小值为_____．
13．若“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是_____．
14．在空间直角坐标系中， ， ，且 ，则 的取值范围是_____．
【点睛】
本题考查一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.
9．
【分析】
化简 ，求出 ，从而求出复数 的虚部．
【详解】
，
，故 的虚部是 .
故答案为： ．
【点睛】
本题考查复数的四则运算、共轭复数概念，考查运算求解能力，属于基础题．
10．126
【分析】
由数列的通项公式代入 ，求得公差 ，再根据求和公式计算即可得 ．
由 可推出 ，
若 ，满足 ，但不能推出 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选： ．
【点睛】
本题考查不等式的性质、充分必要条件的定义，考查对概念的理解与应用，属于基础题．
7．C
【解析】
试题分析：如图所示，，∵两条曲线交点的连线过点Ｆ，∴两条曲线交点为（ ），代入双曲线方程得 １，又 ， 化简得 ， ， ， ，故选C.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 是椭圆 的左顶点，经过左焦点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，求 与 的面积之差的绝对值的最大值，并求取得最大值时直线 的方程． 为坐标原点）
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
利用复数的除法将式子 化简为 形式，则它在复平面内对应点为 ，判断点所在的象限即可．
【详解】
因为 ，所以 在第一象限.
【详解】
设公差为 ，由 ， ，
则 ，解得 ，
.
故答案为：126.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查运算求解能力，求解时注意基本量法的应用.
11．
【分析】
根据椭圆的定义，得 ，可得 ，在△ 中利用中位线定理，即可得到的 值．
【详解】
椭圆 中， ，
，
结合 ，得 ，
是】
本题考查不等式的性质及指数函数的单调性，考查函数与方程思想，属于基础题．
3．C
【解析】
试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为： ，
考点：全称命题与特称命题
4．D
【解析】
【分析】
将抛物线方程写成标准形式再分析即可.
【详解】
由y＝4x2得 ,所以 , 则抛物线的焦点到准线的距离为 .
【点睛】
本题给出椭圆的焦点三角形的一边长，求另一边中点到原点的距离，着重考查椭圆的定义和标准方程和简单几何性质等知识．
12．9
【分析】
由已知可得， ，根据 利用1的代换可得 ，展开利用基本不等式即可求解．
【详解】
， ，且 ，
，
，
则 ，
当且仅当 ，即 时取得最小值9．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求解最值，解题的关键是灵活利用基本公式，进行配凑符合条件的形式．