中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）
考试日期：2013年 月 日 时间110分钟
注：解答全部写在答题纸上
一、填空题(本题24分，每小题3分)
1. 对矩阵 A 进行Doolittle 分解的条件是 ； 2．设总体2212~(,),~(,)X N Y N θσθσ，从总体分别独立抽取容量为,m n 的简单随机样本
12(,,,)m X X X ，12(,,,)n Y Y Y 。

记2,X X S 为样本12(,,,)m X X X 的样本均值与方差，2,Y Y S 为
样本12(,,,)n Y Y Y 的样本均值与方差，则12θθ-的95%的置信区间为 ；
3．如果2
113342
53,5351154
6
4Ax b A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，矩阵A ∞= ， 利用Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的敛散性情况是 ； 4．在进行二元方差分析时，当两个因子之间存在交互作用时，需要进行重复试验，假设两个因子都取3水平，各种组合时试验的重复次数均为4，则体现两因子的交互作用的平方和的自由度是 ；
5．函数22
1212(,)y f x x x x ==，已知1x 和2x 的绝对误差限分别为1()0.1x ε≤和2()0.2x ε≤，则函数
值的绝对误差限为： ；
6．线性规划123123123123min 32..2363260,0,x x x s t
x x x x x x x x x +-⎧
⎪++≥⎪⎨-+≤⎪
⎪≤≥-∞≤≤∞
⎩ 的标准形式是 ；
7．方程()sin(1)2
x
f x x =+- 与()x x ϕ== 等价，由于迭代函数()x ϕ满足：
，可用迭代法求方程()0f x =的唯一正根*
x 的近似值； 8. 设011n n a x x x x b -=<<
<<=为区间[,]a b 的n 等分点，n T 和2n T 为定积分()b
a
f x dx ⎰复合梯
形公式，利用Romberg 思想写出复化Simpson 求积计算式
n S = 。

二、（本题14分）某工厂生产A 、B 两种产品，需利用甲、乙两种资源。

已知生产产品A 一件
需消耗资源甲、乙分别为3吨、4吨，生产产品B 一件需消耗资源甲、乙分别为4吨、3吨。

A 、B 产品每件产值分别为1、2万元。

工厂现有甲、乙资源量分别为120、120吨。

（1） 建立工厂安排生产使总产值最大数学模型。

（2） 列出并利用单纯形法求工厂的最优生产方案。

三、 （本题10分）用Newton 迭代法求方程2()320f x x x =-+=的最小正根，初值取为00.6x =，结
果精确到2位有效数字。

给出第k 次迭代近似误差*
k x x -的估计式。

四、（本题10分）已知)(x f 的数据如表：
求函数()f x 的三次插值多项式3()P x ，给出用3(3.5)P 作为(3.5)f 的近似值的误差估计式。

五、（本题8分）试确定求积公式
1
012 0
1
()(0)()(1)2
f x dx A f A f A f ≈++⎰
中的待定系数012,,A A A ，使其
代数精度尽量高。

六、（本题12分）一种特殊药品的生产厂家声称，这种药能在8小时内解除一种过敏的效率为90%，在有这种过敏的200人中使用药品后，有160人在8小时内解除了过敏，试问生产厂家的说法是否真实
(0.01)α=？
七、（本题12分）某种合金钢的抗拉强度Y(Pa)与钢的含碳量x 有线性回归关系，现进行了10次独立观测，并对测得数据进行处理得到如下结果：
8
.410
1
=∑=i i
x
,
2
.110
1
=∑=i i
y
,
∑==10
1
766
.0i i
i y
x ,
6
.210
1
2
=∑=i i
x
,
384
.010
1
2=∑=i i
y
（1） 求Y 对X 的线性回归方程。

（结果保留小数点后两位。

） （2）对回归方程的显著性进行检验。

八、（本题10分）对方程组：1011010121a a x ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， （1）建立求解该方程组的Jacobi 法和Gauss-Seidel 法的迭代计算式； （2）分析讨论 a 的取值范围，使 Jacobi 迭代法收敛。