南京理工大学
工程硕士高等工程数学学位课程考试试题（2010.3）
（一）矩阵分析
一．（6分）设,021320012⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=A 求21,,A A A ∞值。
二．（8分）已知函数矩阵：22222222222223332t t
t t t t At
t t t t t t t t t t
t t e e e e e e e e e
e e e e e e e e e e ⎛⎫
--- ⎪
=--- ⎪ ⎪---⎝
⎭
， 求矩阵.A 。
三．（10分）已知矩阵82225
42
4
5
--=A ，()⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=099t t e e t b （1）求At
e ；
（2）求解微分方程()()()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=T x t b t Ax dt t dx 2,0,10。
四．（10分）给定3
R 的两个基
()T
x 1,0,11= ()T
x 0,1,22= ()T
x 1,1,13=
()T
y 1,2,11-= ()T
y 1,2,22-= ()T
y 1,1,23--=
定义线性变换：i i y Tx = ()3,2,1=i
（1）写出由基321,,x x x 到基321,,y y y 的过渡矩阵； （2）写出T 在基321,,x x x 下的矩阵； （3）写出T 在基321,,y y y 下的矩阵。
五．（8分）给定(){}
R a a A R
ij ij ∈==⨯⨯222
2（数域R 上的二阶实矩阵按矩阵的加法和数乘
构成的线性空间）的子集 {}022112
2=+∈=⨯a a R A V
（1）证明V 是2
2⨯R
的线性子空间；
（2）求V 的一组基与维数。
六．（8分）设A 是实反对称矩阵，证明：A 的特征值为零或纯虚数。
（二）数值分析
一．（8分）作一个五次多项式()x H ，使得
()31=H ()12-=H ()34=H ()21='H ()12='H ()22=''H 二．（10分）分析方程 ()11=-x
e x
存在几个实根，用简单迭代格式求出这些根（精确到四位有效数字），并说明所用迭代
格式是收敛的。
三．（6分）用列主元素法解线性方程组
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--9423312113
103
321x x x 。
四．（6分）给定线性方程组
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1561510413312
1318321x x x （1）写出Seidel Gauss -迭代格式；
（2）分析该迭代格式的收敛性。
五．（8分）给定积分()()⎰
=
b
a
dx x f f I ，记n
a
b h -=
，ih a x i +=，（n i ,2,1,0=） （1）写出复化的梯形公式()f T n 和复化的Simpson 公式()f S n ； （2）证明：()()()f T f T f S n n n 3
1
342-=。
六．（6分）用Romberg 算法求积分
⎰1
sin dx x x。
七．（6分）应用四阶Kutta Runge -法求解初值问题
()⎩⎨
⎧=+-='1
01
y y x y
取步长1.0=h ，计算出()()()()4.0,3.0,2.0,1.0y y y y 。
（三）数理统计
一．（10分）设总体X 的概率密度为
()()⎩⎨⎧+=0
1θθx x f 其它10<<x
其中1->θ是未知参数，n x x x ,,21是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量。
二．（10分）设出生婴儿（男）的体重服从正态分布，对12名男性婴儿测得体重(克)数据为 3100，2520，3000，3000，3600，3160 3560，3320，2880，2600，3400，2540
试以置信度为95.01=-α的情况下估计男性婴儿的平均体重的置信区间。
三．（10分）抽查10瓶罐头食品的净重，得如下数据（单位：克） 495，510，505，498，503，492，502，512，496，506 问能否认为该批罐头的净重为500克？ 四．（10分）测得某种物质在不同温度下吸附另一种物质的重量如下： C x i 0
/ 1.5，1.8，2.4，3.0，3.5，3.9， 4.4， 4.8， 5.0 mg y i / 4.8，5.7，7.0，8.3，10.9，12.4，13.1，13.6，15.3 有经验可知，吸附量y 与温度x 具有线性关系 ε++=bx a y (
)2
,0~σεN
（1）求y 对x 的线性回归方程；
（2）用F 检验法检验y 对x 的线性相关程度。
（05.0=α）
五．（10分）设X 为任意总体，()()2
,σμ==X D X E ，n X X X ,,21为X 的样本，
∑==n
i i X n X 1
1，
()
2
1
2
11∑=--=n
i i X X n S ，求()X E ，()
X D ，()
2S E 。