第6章 常微分方程数值解法 讨论一阶常微分方程初值问题
(,),,
()dy
f x y a x b
dx y a η
⎧=≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (6.1.1)
的数值解法.
数值解法可区分为两大类：
(1) 单步法：此类方法在计算1n x + 上的近似值1y n + 时只用到了前一点n x 上的信息.如
Euler 法，
Runge-Kutta 法，Taylor 级数法就是这类方法的典型代表.
(2) 多步法：此类方法在计算
1y
n +时，除了需要n x 点的信息外，还需要12,,n n x x -- ，等前面若干
个点上的信息.线性多步法是这类方法的典型代表.
离散化方法
1. Taylor(台劳)展开方法
2. 化导数为差商的方法
3. 数值积分方法
一、线性多步法
基本思想：是利用前面若干个节点上()y x 及其一阶导数的近似值的线性组合来逼近下一个节点上()y x 的值. 1．一般公式的形式
10
1
',,1,,
p
p
n i
n i
i n i i i y a y
h b y n p p +--==-=
+=+∑∑
其中
i a ,i b 为待定常数，p 为非负整数.
说明：
(1)在某些特殊情形中允许任何i a 或i b 为零，但恒假设p a 和p b 不能同时全为零，此时称为1p +步法，它
需要
1p +个初始值01,,,.p y y y 当0p =时，定义了一类1步法，即称单步法.
(2) 若1
0b -=，此时公式的右端都是已知的，能够直接计算出1n y +，故此时称为显式方法；若10b -≠，
则公式的右端含有未知项111'(,),n n n y f x y +++=此时称其为隐式方法.
2．逼近准则 准确成立：
10
1
()()'(),,1,.
p
p
n i
n i
i n i i i y x a y x
h b y x n p p +--==-=
+=+∑∑
【定义 6.1】 如果对任意()r y x M =，某一线性多步法准确成立，而当()y x 为某一个1r +次多项式时，线性多步法不准确成立，则称此线性多步法是r 阶的. 注：
（1）方法的阶越高，逼近效果越好. （2）1p +步法的最高阶可达 22r p =+. 3．线性多步法阶与系数的关系 局部截断误差
10
1
()()'(),,1,.
p
p
n n i
n i
i n i i i T y x a y x
h b y x n p p +--==-=-
-=+∑∑
()
01()'()(),
q
q n n n q n T c y x c hy x c h y x =++++
其中
00
101
1
011,1[()],1{1[()()2,3,.!p
i i p p
i i i i p p
q q q i i i i c a c i a b c i a i b q q ===--==-⎧
=-⎪
⎪
⎪
=--+⎪
⎨⎪⎪
⎪=--+-=⎪⎩∑∑∑∑∑
【定理6.1】 线性多步法是r 阶的充分必要条件是
0110,0r r C C C C +====≠
称
1r C +为误差常数.
线性多步法是相容的：满足条件010C C ==,即
00
1
1,()1
p
i i p
p
i
i
i i a i a b
===-⎧=⎪⎪⎨⎪-+
=⎪⎩∑∑∑
4．线性多步法的构造方法 待定系数法：
r 阶方法的系数,i
i
a b 确定，可令0
10,r C
C C ==== 即解下面方程得到
1,0()101
1()(),2,3,,01p a i
i p p
i a b i i i i p p
q q i a q i q r i i i ⎧
=∑⎪
⎪=⎪
⎪-+=∑∑⎪
⎨==-⎪
⎪
⎪-⎪-+-=∑∑⎪==-⎩
二、线性多步法的收敛性 记
1
(),p
p p i
i
i r r
a r
ρ+-==-
∑
1
().
p
i p i
i r b r
σ-=-=
∑
分别称为线性多步法的第一、第二特征多项式.
()r ρ以及相应的线性多步法满足根条件：若()r ρ的所有根的模均不大于1，且模为1的根是单根。
【定理6.3】若线性多步法收敛，则其满足根条件.
【定理6.5】若线性多步法是收敛的，则其一定是相容的.
【定理6.6】线性多步法收敛的充分必要条件是该方法是相容的且满足根条件. 三、线性多步法的数值稳定性 称
1
1(;)(1)()()(),
p
p p i
i
i i o
r h h b r
a
h b r
r h r πλλλρλσ+--==--
+=-∑
为线性多步法的稳定多项式.记(;)0r h πλ=的根为
01(),(),,().
p r h r h r h λλλ
它们连续地依赖于h λ的值。
有性质：
2
0()1(),0;r h h O h h λλ=++→ 记h h λ=.
【定义6.5】设某线性多步法是收敛的，()i r h 是其稳定多项式(;)r h π的根(1,2,,).i p =
（1） 若对任意[,]h R αβ∈⊂有
0|()||(),1,2,,i r h r h i p ≤=
且当0|()||()i r h r h =时，()i r h 是单根，则称此方法在[,]αβ上为相对稳定的.称［α,β］为相对稳定区间.
（2） 若对任意的(,)h R σδ∈⊂有
|()|1,1,2,,i r h i p <=
则称此方法在(,)σδ上为绝对稳定的.称(,)σδ是绝对稳定区间.
四、Runge-Kutta 法 1．RK 法的一般形式
s 级RK 法的一般形式为
1111,(,),1,2,,s
n n i i i s i n i n
ij j j y y h b K K f x c h y h
a K i s +=-=⎧
=+⎪
⎪⎨⎪=++=⎪⎩
∑∑
其中，,,i i ij b c α 都是常数，
110,0,1,2,,1
j c j s α===- .
s 级RK 方法的局部截断误差
11
()(),
s
n n n i i i T y x y x h b K +==--∑
2．二级RK 法 二级RK 法的一般形式
11122122211,(,),(,).n n n n n n y y hb K hb K K f x y K f x c h y ha K +=++⎧⎨
==++⎩
达到2阶时应选取
12121,,,b b c α 满足方程
1222
2211,1,21.2b b b c b c ⎧
⎪+=⎪
⎪
=⎨⎪
⎪
=⎪⎩
这是四个未知数的三个方程，有无穷多解.以2c 为自由参数得22212121,2,11.
2b c a c b c ⎧
=⎪⎪⎪
=⎨⎪⎪=-⎪
⎩
此时
223
2
24
1[(
)(''2'''')
6
4
1'('')]()
6
n xy x y y x y c T h f f f f f f f f f O h =-
+++++
注：二级RK 法最高只能达到2阶.
常用的二级2阶RK 法.
（1） 中点方法(取
212c =
)
1[,(,)];
2
2
n n n n n n h h y y hf x y f x y +=++
+
（2） Heun 方法(取
223c =
)
122[(,)3(,(,)];
4
3
3
n n n n n n n n h y y f x y f x h y hf x y +=+
++
+
（3） 改进的Euler 方法(取2
1c =)
1[(,)(,(,)]
2
n n n n n n n n h y y f x y f x h y hf x y +=+
+++
其中，Heun 公式是选择参数2c 使截断误差系数达到极小化得到的.
3． 四级RK 法
四级4阶RK 法的经典方法公式
112341213243(22),
6(,),(,),22(,),(,).22n n n n n n n n n n h y y K K k k h h K f x y K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +⎧
=++++⎪⎪
⎪
==++⎨
⎪
⎪
=++=++⎪⎩
5． RK 法绝对的稳定性
【定义6.6】如果一个RK 法以步长h 应用于试验方程时，所得数值解
0()n y n →→∞.则称该RK 法对确定的
h h λ=是绝对稳定的.
注：
（1）二级2阶RK 法具有相同的绝对稳定区间：(2,0)- （2）四级4阶RK 法具有形同的绝对稳定区间：( 2.78,0)-。