高三数学考试（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|321},{|(23)0}≤A x x B x x x =-<=-，则A B =（ ）A ．(1,2]B ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(1,)+∞1．答案：C解析：因为3{|1},02A x x B x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭≤≤，所以312AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭≤．2．已知复数z 满足31i z -=-（i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．2 BC ．5D2．答案：D解析：因为31i 2i z =-+=+，所以z = 3．已知71sin cos ,sin cos 55αααα+=--=，则cos 2α=（ ） A ．725B ．725-C ．1625D ．1625-3．答案：A解析： 227cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )25ααααααα=-=+-=． 4．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．的是（ ）A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．答案：D解析：选项A ，B 显然正确；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误．5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若,4,24ABC C a S π===△，则232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- （ ）A B ．C ．D ．5．答案：B解析：11,4,sin 42422ABC C a S ab C b π====⨯⨯=△，得b =2222cos 10c a b ab C =+-=，即c =，所以2322sin 3sin sin sin a c b cR A C B C+-===+-6．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -⋅+=，则向量,a b 的夹角θ为（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 6．答案：D解析：因为()()224343112,2,1a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅===，所以1a b ⋅=-， 由cos 2cos 1a b a b θθ⋅=⋅==-，得1cos 2θ=-，所以23πθ=．7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos2y x x =-的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度7．答案：D解析：因为2cos 22cos 22cos 236y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2cos 2y x =-，只需将2cos2y x x -的图象向右平移6π个单位长度即可． 8．已知函数()ln(2)ln(6)f x x x =-+-，则（ ） A ．()f x 在(2,6)上单调递增 B ．()f x 在(2,6)上的最大值为2ln 2 C ．()f x 在(2,6)上单调递减 D ．()y f x =的图象关于点(4,0)对称8．答案：B解析：()ln(2)ln(6)ln[(2)(6)]f x x x x x =-+-=--，定义域为(2,6)，令(2)(6)t x x =--，则ln y t = ,二次函数(2)(6)t x x =--的对称轴为直线4x =，所以()f x 在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，A 错，C 也错，D 显然是错误的；当4x =时，t 有最大值，所以max ()ln(42)ln(64)2ln 2f x =-+-=，B 正确．9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．6,AC BD == ）A ．29B ．13C ．49D ．239．答案：C解析：连接,AD CD ，可知ACD △是直角三角形，又BD AC ⊥，所以2BD AB BC =⋅，设(06)AB x x =<<，则有8(6)x x =-，得2x =，所以2,4AB BC ==，由此可得图中阴影部分的面积等于2223122222ππππ⎛⎫⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，故概率241992P ππ==⨯． 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（ ） ABCD．10．答案：C解析：如图，可知最长的棱为长方体的体对角线AC =最短的棱为1BD =，异面直线AC 与BD 所成的角为ACE ∠，由三视图中的线段长度可得，1,AB BD CE CD AE ===tan ACE ∠=ABCD E11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -， (0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，则12S S =（ ） A ．4 B ．8C．D．11．答案：A 解析：由2ce a==，得2,c a b ==，故线段MN所在直线的方程为)y x a +，又点P 在线段MN上，可设()P m ，其中[,0]m a ∈-，由于12(,0),(,0)F c F c -，即12(2,0),(2,0)F a F a -，得12(2,33),(2,)PF a m m a PF a m =----=-，所以221246PF PF m ma a ⋅=+-223134()44m a a =+-．由于[,0]m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅取得最小值，此时P y a =，当0m =时，12PFPF ⋅取得最大值，此时P y ，则214S S ==．12．已知函数cos ,02()1,0π≤x x x f x e x ⎧⎛⎫+⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪->⎩，若()1≥f x ax -恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,)+∞ B ．[0,]e C ．[0,1] D ．[,)e +∞12．答案：B解析：由题意可以作出函数()y f x =与1y ax =-的图象，如图所示．若不等式()1≥f x ax -恒成立，必有0≤≤a k ，其中k 是1x y e =-过点(0,1)-的切线斜率．设切点为00(,1)xx e -，因为x y e '=，所以000(1)(1)x x e k e x ---==-，解得01x =，所以k e =，故0≤≤a e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点01(,)2P x 在C 上，且34PF =，则p = ． 13．答案：12解析：由焦半径公式，0132224p p PF y =+=+=，解得12p =． 14．已知实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 则目标函数3z x y =-+的最大值为 ．14．答案：14解析：作可行域如图所示，由图可知，当3z x y =-+ 过点(4,2)A -时，z 取得最大值14．15．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-= ．15．答案：4-解析：由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，得1b =-， 所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]4f g f g f g -+-=-+=--=-． 16．已知正六棱柱的高为8，侧面积为14，则它的外接球的表面积为 ． 16．答案： 100π解析：设底面正六边形的边长为a ，外接球的半径为r ，则由86144a ⨯=，得3a =，又22283252r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以24100ππS r ==球．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 17．解析：（1）由11S =，得11a =．……………………………………………………………………1分又对任意正整数n ， 111n n n S n S S n +++=-+都成立，即11(1)(1)(1)n n n S n n n S n S ++++=+-+， 所以1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+，所以111n n S Sn n+-=+，………………………………………………3分即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差，1为首项的等差数列．……………………………………………………4分 所以nS n n=，即2n S n =，得121(2)n n n a S S n n -=-=-≥，………………………………………5分 又由11a =，所以21()n a n n N *=-∈．…………………………………………………………………6分 解法2：由1111n n n n S n S S a n ++++=-=+，可得11(1)(1)n n S n n n a ++++=+， 当2n ≥时，(1)n n S n n na +-=，两式相减，得112(1)n n n a n n a na +++=+-，整理得12n n a a +-=， 在111n n S n a n +++=+中，令2n =，得2212Sa +=，即22122a a ++=，解得23a =，212a a ∴-=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n ∴=+-=-．（2）由（1）可得2122n n n na nb -==，……………………………………………………………………7分 所以231135232122222n n nn n T ---=+++++， ①……………………………………………………8分 则234111352321222222n n n n n T +--=+++++， ②……………………………………………………9分 -①②，得2341112222212222222n n n n T +-=+++++-，……………………………………………10分整理得1113221323222222n n n n n n T ++-+=--=-，…………………………………………………………11分所以2332n nn T +=-．……………………………………………………………………………………12分 18．（12分）2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10, 20)，[20, 30)，[30, 40)，[40, 50)，[50, 60)，[60, 70)，[70, 80]后得到如图所示的频率分布直方图． （1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值； （2）（i ）若从样本中年龄在[50, 70)的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ii ）已知该小区年龄在[10, 80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．18．解：（1）平均数150.15250.2350.3450.15550.1(6575)0.0537x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯=…2分 前三组的频率之和为0.150.20.30.65++=，故中位数落在第3组，设为x ，则(30)0.030.150.20.5x -⨯++=，解得35x =，即中位数为35．……………………………………4分 （2）（i ）样本中，年龄在[50,70)的人共有400.156⨯=人，其中年龄在[50,60)的有4人，设为,,,a b c d ，年龄在[60,70)的有2人，设为,x y ．………………………………………………………………………6分 则从中选取2人共有如下15个基本事件：(,),(,)(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,)a b a c a d a x a y b c b d b x b y ，(,),(,),(,),(,),(,),(,)c d c x c y d x d y x y ．………………………………………………………………8分至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a x a y b x b y c x c y d x d y x y ．…………………………………………9分记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A ， 故所求概率为93()155P A ==．………………………………………………………………………………10分 （ii ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1(1810)0.0150.88--⨯=，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为20000.881760⨯=．……………………12分 19．（12分）如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：//PQ 平面ABCD ；（2）若1,1,23CD BE EF EC CD EF BC ⊥====，求五面体ABCDFE 的体积． ABCDEF PQ19．（1）证明：因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ，又因为AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ，所以//BC 平面ADF ，……………………………………………………………………………………2分 又因为BC ⊂平面BCPQ ，平面BCPQ平面ADF PQ =，所以//BC PQ ，…………………………4分又因为PQ ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//PQ 平面ABCD ．…………………………6分 （2）解：,,CD BE CD CB BE CB B ⊥⊥=，CD ∴⊥平面BCE ，又因为CE ⊂平面BCE ，所以CD CE ⊥；………………………………………………………………………………………………7分因为,,BC CD BC FD CDFD D ⊥⊥=，所以BC ⊥平面CDFE ，所以BC CE ⊥，即,,CD CE CB 两两垂直．………………………………………………………………………………9分 连接,FB FC ，则12,3,(23)123F ABCD CD BC V -===⨯⨯⨯=，……………………………………10分 111311322F BCE V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，…………………………………………………………………………11分15222ABCDFE F ABCD F BCE V V V --=+=+=．…………………………………………………………………12分 ABCDEF P Q20．（12分）已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．20．解：（1）因为点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴，所以2c =………………………………………1分由22224914a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，得221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，…………………………………………………………………………4分 故椭圆C 的方程为2211612x y +=．…………………………………………………………………………5分 （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的的方程为(2)y k x =-，令8x =，得M 的坐标为(8,6)k ．……………………………………………………………………6分由2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)1616(3)0k x k x k +-+-=．…………………………………………7分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221212221616(3),4343k k x x x x k k -+==++．①…………………………8分 设直线,,PA PM PB 的斜率分别为123,,k k k ，从而121231233631,,22822y y k k k k k x x ---====----．……………………………………………………9分 因为直线AB 的方程为(2)y k x =-，所以1122(2),(2)y k x y k x =-=-， 所以12121212121233113222122y y y y k k x x x x x x ⎛⎫--+=+=+-+ ⎪------⎝⎭1212124232()4x x k x x x x +-=-⨯-++． ②……………………………………………………………………10分把①代入②，得2212222216443232116(3)3244343k k k k k k k k k k -++=-⨯=---+++．………………………………11分 又312k k =-，所以1232k k k +=，故直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列．…………………………12分21．（12分）设函数22()xx f x e x m=+-．（1）求()f x 的单调区间；（2）若对于任意12,[,](0)x x m m m ∈->，都有12()()1f x f x e --≤，求m 的取值范围．21．解：（1）因为22()xx f x e x m=+-，所以2222()1(1)x xx x f x e e m m '=+-=-+，………………2分所以当(,0)x ∈-∞时，2210,0,()0xxe f x m'-<<<；………………………………………………3分 当(0,)x ∈+∞时，2210,0,()0xxe f x m'->>>．………………………………………………………4分 所以()f x 的单调递减区间是(,0)-∞，单调递增区间是(0,)+∞．……………………………………5分 （2）由（1）知，()f x 在[,0]m -上单调递减，在[0,]m 上单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值，且(0)1f =．…………………………………………………………6分 所以对于任意的12,[,]x x m m ∈-，12()()1f x f x e --≤的充要条件为()(0)1()(0)1f m f e f m f e ⎧--⎪⎨---⎪⎩≤≤ ，即11mm e m e e m e -⎧--⎪⎨+-⎪⎩≤≤ ①…………………………………………7分 设函数()t g t e t =-，则()1tg t e '=-．………………………………………………………………8分当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>，故()g t 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．………………………………………………9分 又(1)1g e =-，()m g m e m =-，()m g m e m --=+，………………………………………………10分 所以当(0,1]m ∈时，1()(1)1,()(1)11g m g e g m g e e -=---=+<-≤≤，即①式成立，…………11分 综上所述，m 的取值范围是(0,1]．…………………………………………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积．22．解：（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为22(5)25x y +-=，即22100x y y +-=，…………2分故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．………………………………………………3分 设点(,)(0)N ρθρ≠，则由已知得,2M πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin()2πρθ=+，即10cos (0)ρθρ=≠．……………………………………………………………………………………5分（2）将3πθ=代入12,C C 的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………7分 又因为(4,0)T ，所以1sin 1523TOA S OA OT π=⋅=△，………………………………………………8分 1sin 23TOB S OB OT π=⋅=△，……………………………………………………………………9分所以15TAB TOA TOB S S S =-=-△△△10分23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->．（1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．23．解：因为0m >，所以3,()223,3,x m x m f x x m x m x m m x m x m x m --⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+⎩≤≥．……………………1分（1）当12m =时，31,22111()3,,22231,22x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+⎪⎩≤≥ …………………………………………………………2分 所以由1()2f x ≥，可得31,2212x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥≤或113,221122x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩≥ 或312212x x ⎧-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥ ，…………………………3分 解得1132x <≤或112x ≤≤，………………………………………………………………………………4分 故原不等式的解集为113x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．………………………………………………………………………5分（2）因为()34()43f x t t f x t t +-<+⇔+--≤， 令()43g t t t =+--，则由题设可得max max ()()≤f x g t ．…………………………………………6分由3,()3,3,x m x m f x x m m x m x m x m --⎧⎪=--<<⎨⎪-+⎩≤≥，得max ()()2f x f m m ==．……………………………………7分 因为43(4)(3)7t t t t +--+--=≤，所以7()7g t -≤≤．……………………………………8分 故max ()7g t =，从而27m <，即72m <，………………………………………………………………9分 又已知0m >，故实数m 的取值范围是70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………10分。