2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|04}P x R x =∈≤≤，{|||3}Q x R x =∈<，则P Q ⋃=（ ） A. [3,4] B. (3,)-+∞C. (,4]-∞D. (3,4]-【答案】D 【解析】 【分析】化简集合Q,根据集合的并集运算即可.【详解】由题意得，[0,4]P =，(3,3)Q =-， ∴(3,4]P Q ⋃=-，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.2.x ，y 互为共轭复数，且()23i 46i x y xy +-=-则x y +=（ ）A. 2B. 1C. 22D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求解，设复数i x a b =+，则其共轭复数i y a b =-，然后将x ，y 代入()23i 46i x y xy +-=-中化简，可求出,a b 的值，从而可求出复数x ，y 的模.【详解】设i x a b =+，i y a b =-，代入得()()22223i 46i a a b -+=-，所以()224a =，()2236a b +=，解得1=a ，1=b ，所以22x y +=.故选：C【点睛】此题考查复数和其共轭复数，复数的运算，复数的模，属于基础题.3.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A. 20B. 27C. 54D. 64【答案】B 【解析】 分析】设大正方体的边长为x ，从而求得小正方体的边长为3122x x -，设落在小正方形内的米粒数大约为N ，利用概率模拟列方程即可求解．【详解】设大正方体的边长为x 312x x -， 设落在小正方形内的米粒数大约为N ，则22312200x x N x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，解得：27N ≈ 故选B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题．4.如图所示，在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A.12B.13C. 2D.23【答案】B 【解析】分析：从A 点开始沿着三角形的边转到D ，则把要求的向量表示成两个向量的和，把BD 写成BC 的实数倍，从而得到AD 1344AB AC =+，从而确定出13,44λμ==，最后求得结果. 详解：34AD AB BD AB BC =+=+3()4AB AC AB =+-1344AB AC =+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果.5.已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】解：∵f （x ）为偶函数；∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ．【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．6.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（ ）A. 23B. 226 D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，分别计算4个面的面积，即可得到结果. 【详解】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，故1AC =，2PA =，5BC PC ==22AB =23PB =，∴12112ABC PAC S S ∆∆==⨯⨯=， 1222222PAB S ∆=⨯⨯=，123262PBC S ∆=⨯=∴该多面体的侧面最大面积为2 故选：B ．【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查三角形面积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.7.已知双曲线2222C :1(0,b 0)x y a a b-=>>的左、右焦点分别为()10F c－，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A. 1353⎛⎝ B. 5,13)C. 13(5,)⎛+∞ ⎝⎭D. 5)(13,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据双曲线的定义，212MF MF a =+，转化为124MF MN a b ++>，即()1min24MFMNa b ++>，根据数形结合可知，当点1,,M F N 三点共线时，1MF MN +最小，转化为不等式23242b a b a+>，最后求离心率的范围.【详解】由已知可得212MF MF a -=，若2||4MF MN b +>，即1|||24MF MN a b ++>‖，左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>， 如图所示，当点M 位于H 点时，1||MF MN +最小，故23242b a b a +>，即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,23a b ∴>或222,49a b a b <∴>或22224,913a b c a <∴<或22135,13c c a a >∴<<或5,ca >∴双曲线C的离心率的取值范围为131,(5,)3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析1|||MF MN +‖的最小值，转化为,a b 的代数关系，最后求ca的范围. 8.为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A. 1i i =+B. 2i i =+C. 3i i =+D. 4i i =+ 【答案】B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为B.34C.32【答案】B 【解析】3cos cos 5a Bb Ac -=∴由正弦定理，得35sinAcosB sinBcosA sinC -=， C A B sinC sin A B π=-+⇒=+（）（），， ∴35sinAcosB sinBcosA sinAcosB cosAsinB -=+（），整理，得4sinAcosB sinBcosA =，同除以cosAcosB ， 得4tanA tanB = ， 由此可得23311144tanA tanB tanBtan A B tanAtanB tan BtanB tanB（），--===+++A B 、 是三角形内角，且tan A 与tanB 同号，A B ∴、 都是锐角，即00tanA tanB ＞，＞，144tanB tanB +≥= 33144tan A B tanB tanB-=≤+（），当且仅当14tanB tanB =，即12tanB = 时，tan A B -（） 的最大值为34． 故选B ．10.已知函数()()22π2sin cos sin 024r f x x x ωωωω⎛⎫=⋅-->⎪⎝⎭在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值1，则w 的取值范围是( )A. 30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】先将()f x 化简为()sin f x x ω=，由()f x 在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，有π0π2ω≤≤，()f x 在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，可得2ππ325π365ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩，从而得出答案. 【详解】2ππ2cos 1cos 1sin 242x x xωωω⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2sin 1sin sin sin f x x x x x ωωωω=+-=.令π2π2x k ω=+可得π2π2k x ωω=+，()f x 在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，π0π2ω∴≤≤解得12ω≥. 令ππ2π2π22k x k ω-+≤≤+，解得：π2ππ2π22k k x ωωωω-+≤≤+，()f x 在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，2ππ325ππ62ωω⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤.综上，1325ω≤≤.故选：B.【点睛】本题考查利用三角函数的单调性和最值情况求参数范围，考查了分析解决问题的能力，属于中档题.11.过双曲线()222210x y a b a b-=>>右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，若0OA AB ⋅=，O 为坐标原点，且OAB 内切圆半径为312a -，则该双曲线的离心率为( ) A.233B.3C.433D.31+【答案】A 【解析】 【分析】设内切圆圆心为M ，则M 在AOB ∠平分线OF 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形,则tan bAOF a=∠可得离心率. 【详解】因为0a b >>，所以双曲线的渐近线如图所示， 设内切圆圆心为M ，则M 在AOB ∠平分线OF 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得FA b =，又OF c =，所以OA a =，31NA MN a ==-，所以313322NO OA AN a a a =-=--=-， 所以tan 3MN b AOF a NO =∠==，得2231b e a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的几何性质，属于中档题.12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A. 86πB. 46πC. 26πD.6π【答案】D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即364466,633R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，62R ∴=，34466633V R ∴=π=π⨯=π，故选D . 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“()0x 0,∞∃∈+，00lnx x 1=-”的否定是______．【答案】()x 0,∞∀∈+，lnx x 1≠-【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【详解】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即()x 0,∞∀∈+，lnx x 1≠-；故答案为()x 0,∞∀∈+，lnx x 1≠-；【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14. 观察分析下表中的数据：多面体面数（） 顶点数（) 棱数（)三棱锥5 6 9五棱锥6 6 10立方体6 8 12猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________. 【答案】2F V E +-=【解析】试题分析：①三棱锥：5,6,9F V E ===,得5692F V E +-=+-=；②五棱锥：6,6,10F V E ===,得66102F V E +-=+-=；③立方体：6,8,12F V E ===,得68122F V E +-=+-=；所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：2F V E +-=，故答案为2F V E +-= 考点：归纳推理.15.设函数()()e 1x f x x =-，函数()g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．【答案】1(,)2-∞- 【解析】【分析】由题意可知，()f x 在[]22-,上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m 的取值范围.【详解】由题意可知，()f x 在[]22-,上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值. ()e x f x x '=，当[]2,0x ∈-时，()0f x '≤，此时函数()f x 单调递减；当(]0,2x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增. ()()00e 011f =-=-，即函数()f x 在[]22-,上的最小值为-1. 函数()g x mx =为直线，当0m =时，()0g x =，显然10-<不符合题意；当0m >时，()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 的最小值为()1g m =，则1m <-，与0m >矛盾； 当0m <时，()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 的最小值为()22g m =，则12m ->，即12m <-，符合题意. 故实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.16.某小商品生产厂家计划每天生产A 型、B 型、C 型三种小商品共100个，生产一个A 型小商品需5分钟，生产一个B 型小商品需7分钟，生产一个C 型小商品需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个A 型小商品可获利润8元，生产一个B 型小商品可获利润9元，生产一个C 型小商品可获利润6元．该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大日利润是__________元.【答案】850【解析】【分析】由题意将原问题转化为线性规划的问题，然后利用线性规划的方法求解最值即可.【详解】依题意，每天生产的玩具A 型商品x 个、B 商品y 个、C 商品的个数等于：100−x −y ， 所以每天的利润T =8x +9y +6(100−x −y )=2x +3y +600.约束条件为：()*57410060010000,0,,x y x y x y x y x y N ⎧++--⎪--⎨⎪∈⎩， 整理得*3200100,x y x y x y N +⎧⎪+⎨⎪∈⎩.目标函数为T =2x +3y +600.如图所示,做出可行域.初始直线l 0:2x +3y =0，平移初始直线经过点A 时，T 有最大值．由3200100x y x y +=⎧⎨+=⎩得5050x y =⎧⎨=⎩. 最优解为A (50,50)，此时T max =850(元).即最大日利润是850元.【点睛】本题主要考查线性规划的实际应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.已知数列{}n a 、{}n b 满足：114a =，1n n ab +=，121n n n b b a +=-. （1）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）设1223341n n n S a a a a a a a a +=+++⋅⋅⋅+，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．【答案】（1）见解析，23n n b n +=+；（2）1a ≤ 【解析】【分析】（1）由已知变形为112n n b b +=-，再构造111111n n b b +-=---，从而证明数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求通项公式；（2）由（1）可知113n n a b n =-=+，再写出n S ，利用裂项相消法求和，4n n aS b <恒成立整理为()()()()213682404334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+-=-=<++++恒成立，分1a =，1a >和1a <三种情况讨论*n N ∈时恒成立求a 的取值范围.【详解】（1）∵()()()111122n n n n n n n nb b b a a b b b +===-+--， ∴11112n n b b +-=--，∴12111111n n n n b b b b +-==-+---． ∴数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以-4为首项，-1为公差的等差数列． ∴()14131n n n b =---=---，∴12133n n b n n +=-=++． （2）∵113n n a b n =-=+． ∴()()12231111455634n n n S a a a a a a n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅⨯⨯++()114444n n n =-=++， ∴()()()()21368244334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+-=-=++++． 由条件可知()()213680a n a n -+--<恒成立即可满足条件，设()()()21328f n a n a n =-+--， 当1a =时，()380f n n =--<恒成立，当1a >时，由二次函数的性质知不可能成立．当1a <时，对称轴3231102121a a a -⎛⎫-⋅=--< ⎪--⎝⎭，()f n 在[)1,+∞为单调递减函数． ()()()113684150f a a a =-+--=-<，∴154a <，∴1a <时4n n aS b <恒成立． 综上知：1a ≤时，4n n aS b <恒成立． 【点睛】本题考查证明由递推公式求通项公式，裂项相消法求和，以及数列和函数结合的综合性问题，意在考查转化与化归，讨论的思想和计算能力，属于中高档习题.18.如图，ABCD 是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，24EB FD ==.（1）求证：EF AC ⊥；（2）求几何体EFABCD 的体积.【答案】（1）详见解析；（2）3【解析】【分析】（1）由FD ⊥平面ABCD ,EB ⊥平面ABCD 可得//EB FD ,则E ,F ,D ,B 四点共面,先证得AC ⊥平面EFDB ,再证明EF AC ⊥即可；（2）由菱形的性质及60DAB ∠=︒,可求得BD ,AO ,CO ,由（1）可知四边形EFDB 为直角梯形,再利用 C EFDB A EFDB EFABCD V V V --=+几何体求解即可.【详解】（1）证明:如图,连接BD ,交AC 于O ,FD ⊥平面ABCD ,EB ⊥平面ABCD ,//EB FD ∴,E ∴,F ,D ,B 四点共面,AC ⊂平面ABCD ,AC EB ∴⊥,设DB AC O =,四边形ABCD 为菱形,AC DB ∴⊥,DB EB B ⋂=,AC ∴⊥平面EFDB ,EF ⊂平面EFDB ,AC EF ∴⊥（2）//EB FD ,EB BD ⊥,∴四边形EFDB 为直角梯形,在菱形ABCD 中,60DAB ∠=︒,2AB =,∴2BD =,3AO CO ==,∴梯形EFDB 的面积(24)262S +⨯==, AC ⊥平面EFDB , C EFDB A EFDB EFABCD V V V --∴=+几何体11··4333S AO S CO =+= 【点睛】本题考查线面垂直的性质的应用,考查线线垂直的证明,考查几何体的体积,考查运算能力. 19.在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率； （2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为()11911,2,31010n n P n P n --⎛⎫+= ⎪⎝=⎭，其中i P 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且1P 定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立.①求该团队挑战成功的概率；②该团队以i P 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人数X 的可能值及其概率.【答案】（1）0.024a =，0.026b =，0.9；（2）①0.999361；②1，2，3；0.009.【解析】【分析】(1)根据中位数为47，则在频率分布直方图中时间位于47左边的小长方形的面积之和为0.5，可求出a 的值, 时间位于47右边的小长方形的面积之和为0.5，可求出b 的值.(2) ①先分别求出三人解密成功的概率，然后先求出三人都没有解密成功的概率，再求出团队解密成功的概率.②由①可知按i P 从小到大的顺序的概率分别10.9p =，20.91p =，30.929p =，X 的取值为1，2，3,在计算概率.【详解】（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，()0.0150.014550.03450.0447450.5b ∴⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得0.026b =；0.0430.032550.010100.5a ∴⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =；∴甲在1分钟内解密成功的频率是10.01100.9f =-⨯=（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为10.9P =； 第二个出场选手解密成功的概率为2910.910.911010P =⨯+⨯=， 第三个出场选手解密成功的概率为23910.920.9291010P ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭， 令“该团队挑战成功”的事件为A ，“挑战不成功”的事件为A ，()()()()10.910.9110.9290.10.090.0710.000639P A =---=⨯⨯=，∴该团队挑战成功的概率为()()110.00016390.999361P A P A =-=-=（或该团队挑战成功的概率为0.90.10.910.10.090.9290.999361P =+⨯+⨯⨯=）②由①可知按i P 从小到大的顺序的概率分别1p ，2p ，3p ，根据题意知X 的取值为1，2，3；则()10.9P X ==，()()210.90.910.091P X ==-⨯=，()()()310.910.910.10.090.009P X ==--=⨯=.【点睛】本题考查根据评论分布直方图以及中位数计算参数的值，和计算概率，属于中档题.20.如图，设抛物线C 1:24(0)y mx m =->的准线1与x 轴交于椭圆C 2：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点F 2，F 1为C 2的左焦点.椭圆的离心率为12e =，抛物线C 1与椭圆C 2交于x 轴上方一点P ，连接PF 1并延长其交C 1于点Q ，M 为C 1上一动点，且在P ，Q 之间移动.（1）当32a +取最小值时，求C 1和C 2的方程； （2）若△PF 1F 2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ 面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程.【答案】（1）24y x =-,22143x y +=； （21256，此时42:6633MP y x =+【解析】【分析】 （1）由题意，c m =和12c e a ==，得到2a m =，3b m =，根据32a +取最小值时1m =，即可求得抛物线和椭圆的方程； （2）用m 表示出椭圆的方程，联立方程组得出P 点的坐标，计算出12PF F ∆的三边关于m 的式子，从而确定实数m 的值，求出PQ 得距离和M 到直线PQ 的距离，利用二次函数的性质，求得MPQ ∆面积取最大值，即可求解．【详解】（1）由题意，抛物线21:4(0)C y mx m =->的准线方程为:l x m =， 椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点2(,0)F c ，所以c m =， 又由12c e a ==，则2a m =，b =，所以2a b +取最小值时1m =， 所以抛物线C 1:24y x =-，又由2a =，23b =，所以椭圆C 2的方程为22143x y +=．（2）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，b=， 设椭圆的标准方程为2222143x y m m+=，0011(,),(,)P x y Q x y ，联立方程组222221434x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得0y =，即2,33m P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，于是153mPF =，21723m PF a PF =-=，12623m F F m ==， 又12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =， 此时抛物线方程为212y x =-，1(3,0)F -，(2,P -， 则直线PQ 的方很为3)y x =+，联立23)12y x y x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得192x =-或12x =-（舍去），于是9,2Q ⎛-- ⎝.所以25||2PQ ==， 设2,((12t M t t ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭到直线PQ 的距离为d ，则2753022d t ⎛=+- ⎝⎭， 当2t =-时，max 753024d ==，所以MPQ ∆的面积最大值为12522416⨯⨯=， 此时MP：y =+. 【点睛】本题主要考查椭圆和抛物线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21.已知函数()ln xf x a x e=+，其中a 为常数． （1）若直线y x e2=是曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值； （2）当1a =-时，若函数()()ln xg x f x b x=-+在[)1+∞，上有两个零点．求实数b 的取值范围． 【答案】(1) 1a = (2) 11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）设切点()00,x y ， 由题意得000012,2ln a e x ex x a xee ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可得结果；（2）函数()()ln x g x f x b x =-+在[)1+∞，上有两个零点等价于，函数ln ln x xy x x e=+- 的图象与直线y b =有两个交点，设ln ()ln (0)x x h x x x x e =+->，利用导数可得函数()h x 在x e =处取得极大值1()h e e =，结合1(1)h e=-，()323313h e e e e =+-<-，从而可得结果.【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()a x aef x e x ex +'=+=，曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为y x e 2=.由题意得000012,2ln a e x ex x a xee ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得1a =，0x e =.所以a 的值为1.（2）当1a =-时，()ln x f x x e =-，则11()x e f x e x ex-'=-=， 由()0f x '>，得x e >，由()0f x '<，得0x e <<，则()f x 有最小值为()0f e =，即()0f x ，所以ln ()ln x xg x x b e x=--+，(0)x >， 由已知可得函数ln ln x xy x x e=+- 的图象与直线y b =有两个交点， 设ln ()ln (0)x xh x x x x e=+->， 则211ln 1()x h x x x e -'=+-22ln ex e e x x ex+--=， 令2()ln x ex e e x x ϕ=+--，22()2e ex e x x e x x xϕ--'=--=，由220ex e x --<，可知()0x ϕ'<，所以()x ϕ在(0,)+∞上为减函数，由()0e ϕ=，得0x e <<时，()0x ϕ>，当x e >时，()0x ϕ<， 即当0x e <<时，()0h x '>，当x e >时，()0h x '<， 则函数()h x 在(0,)e 上为增函数，在(,)e +∞上为减函数， 所以，函数()h x 在x e =处取得极大值1()h e e=， 又1(1)h e =-，()322331341h eee e e=+-<-<-<-，所以，当函数()g x 在[1,)+∞上有两个零点时，b 的取值范围是11b e e-<， 即11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的零点，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4—4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为2,1x t y t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1:C y =以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4πρα⎛⎫=-⎪⎝⎭. （Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP ⋅的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为()2,1-，求QM QN -的值. 【答案】（Ⅰ）1]；. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用参数方程表示出目标式BA BP ⋅，结合三角函数知识求解； （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线2C ，结合参数的几何意义可求. 【详解】（Ⅰ）由题意可知：直线l 的普通方程为10,(1,0),(0,1)x y A B ++=∴--.1C 的方程可化为221(0)x y y +=≥，设点P 的坐标为(cos ,sin ),0θθθπ≤≤，cos sin 111]4BA BP πθθθ⎛⎫∴⋅=-++=-+∈ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y ++-=.直线l的标准参数方程为212x y m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数），代入2C得：270m -=设,M N 两点对应的参数分别为12,m m121270m m m m +==-< ,故12,m m 异号12QM QN m m ∴-=+=‖‖【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标之间转化及参数方程的应用，利用参数的几何意义能简化计算过程，达到事半功倍的效果.选修4–5：不等式选讲23.已知函数()223f x x x m =+++, m R ∈． (1)当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）若(),0x ∀∈-∞，都有()2f x x x≥+恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1） 12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）322m ≥--【解析】 【分析】（1）当2m =- 时，f （x ）＝|2x|+|2x+3|-2＝41,031,02345,2x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，分段解不等式即可． （2）f （x ）＝|2x|+|2x+3|+m ＝33,02343,2m x x m x ⎧+-<<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩．当302x -<<时，得23m x x +≥+ ，当32x ≤-时，得253m x x≥++，利用恒成立求最值，可得m 的取值范围． 【详解】（1）当m ＝﹣2时，f （x ）＝|2x|+|2x+3|-2＝41,031,02345,2x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当，解得； 当恒成立当解得﹣2，此不等式的解集为（2）当x ∈（﹣∞，0）时f （x ）＝|2x|+|2x+3|+m ＝33,02343,2m x x m x ⎧+-<<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩．当302x -<<时，得23m x x+≥+恒成立，由当且仅当即时等号成立．∴，∴当32x ≤-时，得243x m x x --+≥+．∴253m x x ≥++恒成立，令253y x x=++，，∵22228375559932y x =-≥-=-=⎛⎫⎪⎝⎭'- ，∴在上是增函数．∴当时，取到最大值为356-∴.又3517332266-=--<-- 所以322m ≥--【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查利用恒成立求参数的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。