2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设函数y =定义域为A ，函数ln(3)y x =-的定义域为B ，则A B =（ ）A. (,3)-∞B. (8,3)--C. {3}D. [3,3)-【答案】D 【解析】 【分析】分别求出两个函数的定义域,A B ，进而求出AB 即可.详解】由题意，对于函数y =290x -≥，解得33x -≤≤，即[]3,3A =-； 对于函数ln(3)y x =-，30x ->，解得3x <，即(),3B =-∞， 所以AB =[3,3)-.故选：D.【点睛】本题考查函数的定义域，考查集合的交集，属于基础题. 2.已知复数i()z a a =-∈R ，若8z z +=，则复数z =（ ） A. 4i + B. 4i -C.4i -+D.4i --【答案】B 【解析】 【分析】求出z 的表达式，再结合8z z +=，可求出a 的值，即可求出答案.【详解】由题意，i()z a a =-∈R ，i z a =+，所以i i 8a a -++=，解得4a =，故z =4i -. 故选：B.【点睛】本题考查共轭复数，考查学生的计算求解能力，属于基础题.3.已知命题p ：0x ∀>，则31x >；命题q ：若a b <，则22a b <，下列命题为真命题的是( ) A. p q ∧ B. p q ∧⌝C. p q ⌝∧D. p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的性质可知命题p 为真命题，则￢p 为假命题，命题q 是假命题， 则￢q 是真命题．因此p ∧￢q 为真命题．【详解】命题p ：0x ∀>，则31x >，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=-1，b=-2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题． 故选B ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了全称命题的否定，训练了函数零点存在性定理的应用方法，考查复合命题的真假判断，是基础题．4.设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（ ）． A. 若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B. ,αβαγ⊥⊥，则βγ⊥C. 若m ∥α，m β⊥，则αβ⊥D. ,,m n m αγβγ⋂=⋂=∥n ，则α∥β 【答案】C 【解析】试题分析：A ．错，因为没说明垂直于两平面的交线，B ．错，垂直于同一平面的两个平面相交或平行，C ．正确，因为平面存在垂直于的线，D ．错，因为与有可能相交．故选C ．考点：线线，线面，面面位置关系5.郑州市2019年各月的平均气温()℃数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（ ）A. 20B. 21C. 20.5D. 23【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图结合中位数的定义读出即可．【详解】解：由题意得，这组数据是：01，02，15，16，18，20，21，23，23， 28，32，34， 故中位数是：202120.52+=， 故选：C ．【点睛】本题考查了茎叶图的读法，考查中位数的定义，属于基础题． 6.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. (4,10]C. (2,4]D. (4,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：设输入x a =，第一次执行循环体后，32x a =-，1i =，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，98x a =-，2i =，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，2726x a =-，3i =，满足退出循环的条件； 故9882a -，且272682a ->， 解得：(4,10]a ∈， 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于中档题．7.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ）A. 58- B.18C.14D.118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线的离心率为（ ）A.B. 10C. 3D.3【答案】D 【解析】 【分析】由题可知直线350x y -+=与渐近线b y x a =-垂直，可求出b a 的值，进而由c e a ==心率.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 又因为直线350x y -+=的斜率为30>，所以与该直线垂直的渐近线方程为by x a=-，则31b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即13b a =，故双曲线的离心率c e a ====故选：D.【点睛】本题考查双曲线的渐近线与离心率，考查垂直直线的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.9.函数2||()24x x f x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数()f x 的奇偶性，可排除A 、B 选项，再根据()0,2x ∈时，()0f x <，()2,x ∈+∞时，()0f x >，可选出答案.【详解】由题意，函数2||()24x x f x =-的定义域为}{,2x x x ∈≠±R ，又()22||||()2424x x x x f x ---==--，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，可排除A 、B 选项； 当()0,2x ∈时，2()024x x f x =<-；当()2,x ∈+∞时，2()024x x f x =>-，显然只有选项D 符合题意.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的识别，常常利用函数的定义域、奇偶性、单调性及特殊值等方法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.10.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积．将aGini S=，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x>；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为1[0,1])y x =∈，则π12Gini =-； 其中正确的是：（ ） A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B 【解析】 【分析】结合基尼系数曲线的特点，可判断出①正确；由劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可知②错误；再结合1[0,1])y x =∈对应的图形特征，可求出对应的,a S ，进而可求出Gini ，即可判断③是否正确.【详解】对于①，根据基尼系数公式aGini S=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x ≤，可得()1f x x≤，所以②错误；对于③，易知1[0,1])y x =∈表示圆心为()0,1，半径为1的14圆弧，则21111π111π4242a =⋅-⨯⨯=-，12S =，故11ππ421122a Gini S -===-，所以③正确. 故选：B.【点睛】本题考查新定义，考查不等式证明，考查几何图形面积的计算，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球表面积为4π，则正方体外接球的体积为( )A. B. 36πC. 3D. 6【答案】B 【解析】 【分析】利用体积相等求出正四棱锥的高，从而可得正四棱锥的棱长，可求得正方体的棱长，利用正方体外接球直接就是正方体对角线长，可求外接球的半径，进而可得结果. 【详解】设正方体的棱长为a ，则BD =，因为三棱锥11A BC D -内切球的表面积为4π， 所以三棱锥11A BC D -内切球的半径为1， 设11A BC D -内切球的球心为O ，1A 到面1BC D 的距离为h ，则1114A BC D O BC D V V --=，11114133BC D BC D S h S ∆∆⨯=⨯⨯⨯，4h ∴=， 又(23h ==，4,3a ∴== 又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，∴3=，其体积为343363ππ⨯=，故选B. 【点睛】解答多面体内切球的表面积与体积问题，求出内切球半径是解题的关键，求内切球半径的常见方法有两种：一是对特殊几何体（例如正方体，正四面体等等）往往直接找出球心，求出半径即可；二是对不规则多面体，往往将多面体分成若干个以多面体的面为底面以内切球的球心为高的棱锥，利用棱锥的体积和等于多面体的体积列方程求出内切球半径. 12.已知函数π()2f x x=-，()cos sin g x x x x =-，当[4π,4π]x ∈-，且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是（ ） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】 【分析】分别判断两个函数的奇偶性及单调性，进而做出二者的图象，根据图象交点个数可得出答案. 【详解】由题意，函数π()2f x x=-，在[)(]4π,00,4π-上是奇函数，且是反比例函数，又()()()()cos sin cos sin g x x x x x x x g x -=----=-+=-，所以()g x 在[)(]4π,00,4π-上是奇函数.又()sin g x x x '=-，所以()0,πx ∈时，()0g x '<；()π,2πx ∈时，()0g x '>；()2π,3πx ∈时，()0g x '<；()3π,4πx ∈时，()0g x '>.所以()g x 在()0,π上单调递减；在()π,2π上单调递增；在()2π,3π单调递减；在()3π,4π上单调递增. 作出(),()f x g x 的图象，如下图所示，()00g =，()ππg =-，()1π2f =-，()()ππf g >，则()f x 与()g x 的图象在()0,πx ∈上有1个交点；()2π2πg =，()12π4f =-，()()2π2πg f >，则()f x 与()g x 的图象在()π,2πx ∈上有1个交点；()3π3πg =-，()13π6f =-，()()3π3πf g >，则()f x 与()g x 的图象在()2π,3πx ∈上有1个交点；()4π4πg =，()14π8f =-，()()4π4πg f >，则()f x 与()g x 的图象在()3π,4πx ∈上有1个交点.故()f x 与()g x 的图象在(]0,4π上有4个交点，根据对称性可知，二者图象在[)4π,0-上4个交点，故当[4π,4π]x ∈-，且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是8.故选：D.【点睛】本题考查函数图象交点问题，考查函数图象的应用，考查学生的推理能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.幂函数()2()33mf x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m =_______.【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得到m 的值，再根据图象关于y 轴对称验证m 的值. 【详解】函数()2()33mf x m m x =-+是幂函数，2331,m m ∴-+= 解得：1m =或2m =，当1m =时，函数y x =的图象不关于y 轴对称，舍去， 当2m =时，函数2y x 的图象关于y 轴对称，∴实数2m =．【点睛】幂函数y x α=，若α为偶数，则图象关于y 轴对称.14.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=有公共点的概率为________. 【答案】712【解析】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b 可得6636n =⨯=种结果，由直线与圆()2222x y -+=有公共点a b ≤≤，故满足a b ≤的结果有65432121m =+++++=种，由古典概型的计算公式可得：直线0ax by +=与圆()2222x y -+=有公共点的概率为2173612m P n ===，应填答案712．15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且b =(sin )A A b =，则ABC的面积的最大值为_______．【解析】 【分析】由正弦定理边角转化，并结合()sin sin C A B =+，可得到cos sin sin A B A B =，从而可得tan 3B =，即可求出角B ，再结合余弦定理，可得到223a c ac =+-，利用基本不等式可求得3ac ≤，进而由1sin 2ABC S ac B =△，可求出答案. 【详解】由正弦定理可得，3sin (sin 3cos )sin C A A B =+， 又()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，所以()3sin cos sin cos (sin 3cos )sin A B B A A A B +=+，则3sin cos sin sin A B A B =， 因为sin 0A ≠，所以3cos sin B B =，即tan 3B =，故π3B =. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得223a c ac =+-， 又222232a c ac a c ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立， 所以3ac ≤，且11333sin 32224ABCSac B =≤⨯⨯=. 故答案为：33. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.16.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有______．①CPI 一篮子商品中权重最大的是居住 ②CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50% ③猪肉在CPI 一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI 一篮子商品中权重约为0.18% 【答案】①②③【解析】 【分析】结合两个图，对四个结论逐个分析可得出答案.【详解】对于①，CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大，故①正确；对于②，CPI 一篮子商品中吃穿住所占19.9%8%23%50.9%++=，权重超过50%，故②正确； 对于③，由第二个图可知，猪肉在CPI 一篮子商品中权重为2.5%，故③正确；对于④，由第二个图可知，猪肉与其他禽肉在CPI 一篮子商品中权重约为2.5% 2.1% 4.6%+=，故④错误.故答案为：①②③.【点睛】本题考查统计图的识别和应用，考查学生的分析问题、解决问题的能力，属于基础题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()*11n n n b n a a +=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2,1,21, 2.n n a n n =⎧=⎨+≥⎩；（2）412030n n T n +=+【解析】 【分析】（1）由1n =时，11a S =，2n ≥时，1n n n a S S -=-，可求出{}n a 的通项公式； （2）由1n =时，1121b a a =，2n ≥时，11122123n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，进而结合裂项相消求和法可求出n T . 【详解】（1）当1n =时，112a S ==．当2n ≥时，()22121(1)2(1)121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦． 而12211a =≠⨯+，所以数列{}n a 的通项公式为2,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩.（2）当1n =时，1121112510b a a ===⨯， 当2n ≥时，1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以1,110111.,222123n n b n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪++⎝⎭⎩，当1n =时，11110T b ==， 当2n ≥时，1231111111110257792123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111411025232030n n n +⎛⎫=+-= ⎪++⎝⎭． 又114111020130T ⨯+==⨯+，符合412030n n T n +=+， 所以412030n n T n +=+()*N n ∈． 【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查利用裂项相消法求数列的前n 项和n T ，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18.在改革开放40年成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表：（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+． （2）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-．（参考数据：()()612.8iii x x y y =--=∑，计算结果保留到小数点后两位）【答案】（1）0.16 6.44y x =+；（2）7.56万吨 【解析】 【分析】（1）先求出x 和y 的值，然后求出()621ii x x =-∑，进而由()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，a y bx =-，可求出ˆ,ba ，从而可求出y 关于x 的线性回归方程；（2）当年份为2020年时，年份代码为7x =，由（1）求得的回归方程，求出ˆy的值即可． 【详解】（1）由题意可知：1234563.56x +++++==，6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()622222221( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5i i x x=-=-+-+-+++=∑，所以()()()1212.8ˆ0.1617.5niii nii x x y y bx x ==--===-∑∑， 又70.16 3.5 6.44a y bx =-=-⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为0.16 6.44y x =+．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码为7x =，此时0.167 6.447.56y =⨯+=． 所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点．（1）求证：1//B C 平面1A BD ；（2）若160A AB ACB ∠=∠=︒，1AB BB =，2AC =，1BC =，求三棱锥1C AA B -的体积． 【答案】（1）详见解析；（2）34【解析】 【分析】（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，可知1//OD B C ，进而由线面平行的判定定理可证明1//B C 平面1A BD ；（2）在ABC 中，利用余弦定理可求得3AB =222AC AB BC =+，即AB BC ⊥，再结合平面11AA B B ⊥平面ABC ，可知BC ⊥平面11AA B B ，进而求出1A AB S △，从而由1113C A AB AA BV S BC -=⋅可求出答案.【详解】（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点，所以1//OD B C ， 又OD ⊂平面1A BD ，1B C ⊂/平面1A BD ， 所以1//B C 平面1A BD ． （2）2AC =，1BC ∴=，60ACB ∠=︒，22212cos 4122132AB AC BC AC BC ACB ∴=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，3AB ∴=，222AC AB BC ∴=+，AB BC ∴⊥．又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B平面ABC AB =，BC ⊂平面11AA B B ，BC ∴⊥平面11AA B B ．160A AB =︒∠，1AB BB =，∴四边形11AA B B 为菱形，1ABA △为正三角形，13AA AB ∴==.11111333sin 332224A AB S AB AA A AB ∴=⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△． 1111333133C A AB AA BV SBC -∴=⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为32．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）直线l 平行于直线by x a=，且与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，若AOB ∠为钝角，求直线l 在x 轴上的截距m 的取值范围．【答案】（1）22182x y +=；（2）(2,0)(0,22)-⋃ 【解析】 【分析】（1）由短轴长为23,a b 的值，进而可求出椭圆的标准方程； （2）由直线l 平行于直线b y x a=，可设直线l 的方程为1(0)2y x n n =+≠，与椭圆方程联立，可得到关于x 的一元二次方程，由>0∆，可求得22n -<<，再结合AOB ∠为钝角，可得0OA OB ⋅<，且0n ≠，将该式展开，并结合韦达定理，可求出22n <，进而可求出n 的取值范围，再结合直线l 在x 轴上的截距2m n =-，可求出m 的取值范围．【详解】（1）由题意可得2b =b =c e a ===a = 所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=．（2）由于直线l 平行于直线by x a =，即12y x =，设直线l 在y 轴上的截距为n ， 所以l 的方程为1(0)2y x n n =+≠． 联立221,2182y x n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x nx n ++-=， 因为直线l 与椭圆C 交于,A B 两个不同的点， 所以()22(2)4240n n ∆=-->，解得22n -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x n +=-，21224x x n =-．因为AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<，且0n ≠， 所以121212121122OA OB x x y y x x x n x n ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22212125524(2)04242n nx x x x n n n n =+++=-+-+<，即22n <，且0n ≠， 所以直线l 在y 轴上的截距n的取值范围：(⋃． 因为直线l 在x 轴上的截距2m n =-，所以m的取值范围是：(-⋃．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21.已知函数ln ()()xf x a x a =∈+R ，曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程为1ey =． （1）求实数a 的值，并求()f x 的单调区间 （2）求证：当0x >时，()1f x x ≤-．【答案】（1）单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,)+∞；（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）对()f x 求导，由(e)0f '=，可求出a 的值，进而可得()f x 解析式，求出单调性即可；（2）当0x >时，要证()1f x x ≤-即证2ln 0x x x -+≤，进而构造函数2()ln (0)g x x x x x =-+>，求导并判断单调性可知()(1)0g x g ≤=，从而可证明结论.【详解】（1）ln ()xf x x a =+，2ln ()()x axxf x x a +-'∴=+， 2e (e)(e )af a '∴=+， 又曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程为1ey =，则(e)0f '=，即0a =， 21ln ()xf x x -'∴=， 令()0f x '>，得1ln 0x ->，即0e x <<； 令()0f x '<，得1ln 0x -<，即e x >，所以()f x 的单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,)+∞． （2）当0x >时，要证()1f x x ≤-即证2ln 0x x x -+≤， 令2()ln (0)g x x x x x =-+>，则2112(1)(21)()21x x x x g x x x x x+--+'=-+==-， 当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g ≤=，即当0x >时，()1f x x ≤-．【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在极坐标系中，圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程， （Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B两点，且||AB ≥．求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）222:()C x y a a +-=，:4350l x y -+=；（Ⅱ）101011a ≤≤. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C 的标准方程，消去参数即可求直线l 的普通方程； （Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【详解】解：（Ⅰ）因为圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>，所以圆C 的直角坐标方程为222()x y a a +-=，直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去t 得到4350x y -+=（Ⅱ）由圆的方程可得圆心(0,)C a ，半径R a =，则圆心到直线的距离|53|5a d -==，||3AB a ．3a ∴，即22234a da -， 则224a d ，即2a d ，则|53|52a a -， 则35252a a a --， 由35253552a a a a -⎧-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩解得101110a a ⎧⎪⎨⎪⎩，解得101011a ．即实数a 的取值范围是101011a ． 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的关系，以及直线和圆相交的弦长公式的应用，考查学生的转化能力，属于中档题． 23.已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的最小值． 【答案】(1) 4(,)(2,)3-∞-⋃+∞. (2)12. 【解析】分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=﹣2时对应的不等式即可； （2）由f （x ）≤a|x+3|得a ≥131x x x +++-，利用绝对值三角不等式处理即可.详解：（1）当2a =-时，()13,13,1131,1x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪->⎩()5f x >的解集为：()4,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）由()3f x a x ≤+得：113x a x x +≥-++由1321x x x -++≥+，得：11132x x x +≤-++ 得12a ≥（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立）， 故a 的最小值为12.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。