中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷(开卷)
考试日期:2013年 月 日 时间100分钟
注:解答全部写在答题纸上
一、填空题(本题24分,每小题3分)
1. 对矩阵 A 进行Doolittle 分解的条件是 ; 2.设总体2212~(,),~(,)X N Y N θσθσ,从总体分别独立抽取容量为,m n 的简单随机样本
12(,,,)m X X X ,12(,,,)n Y Y Y 。
记2,X X S 为样本12(,,,)m X X X 的样本均值与方差,2,Y Y S 为
样本12(,,,)n Y Y Y 的样本均值与方差,则12θθ-的95%的置信区间为 ;
3.如果2
113342
53,5351154
6
4Ax b A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,矩阵A ∞= , 利用Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的敛散性情况是 ; 4.在进行二元方差分析时,当两个因子之间存在交互作用时,需要进行重复试验,假设两个因子都取3水平,各种组合时试验的重复次数均为4,则体现两因子的交互作用的平方和的自由度是 ;
5.函数2
1212(,)y f x x x x ==,已知1x 和2x 的绝对误差分别为1()x ε和2()x ε,则()y ε= ;
6.线性规划min ..0cx
s t Ax b x ⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
的对偶线性规划是 ,两个线性规划的最优目标值 ; 7.方程()sin(1)2
x
f x x =+-
与()x x ϕ== 等价,由于迭代函数()x ϕ满足: ,可用迭代法求方程()0f x =的唯一正根*
x 的近似值,且
*k x x -≤ ;
8. 设011n n a x x x x b -=<<
<<=为区间[,]a b 的n 等分点,n T 和2n T 为定积分()b
a
f x dx ⎰复合梯
形公式,则复合梯形公式的递推形式2n T = 。
二、(本题14分)某工厂生产A 、B 、C 三种产品,需利用甲、乙、丙三种资源。
已知生产产
品A 一件需消耗资源甲、乙、丙分别为2吨、4吨、2吨,生产产品B 一件需消耗资源甲、乙、丙分别为6吨、2吨、2吨,生产产品C 一件需消耗资源甲、乙、丙分别为2吨、4吨、2吨。
A 、B 、C 产品每件产值分别为5、4、4万元。
工厂现有甲、乙、丙资源量分别为180、160、90吨。
(1) 建立工厂安排生产使总产值最大数学模型。
(2) 列出并利用单纯形法求工厂的最优生产方案。
三、 (本题10分)用Newton 迭代法求方程2()320f x x x =-+=的最小正根,初值取为00.6x =,给
出第k 次迭代近似误差*
k x x -的估计式。
四、(本题10分)已知)(x f 的数据如表:
用Lagrange 插值法求函数()f x 的三次值函数3()L x ,给出用3(3.5)L 作为(3.5)f 的近似值的误差估计式。
五、(本题7分)试确定求积公式
1
01 1
11
()()()33
f x dx A f A f -≈-+⎰ 中的待定系数01,A A ,使其代数精度尽量高。
六、(本题12分)一种特殊药品的生产厂家声称,这种药能在8小时内解除一种过敏的效率为90%,在有这种过敏的200人中使用药品后,有160人在8小时内解除了过敏,试问生产厂家的说法是否真实
(0.01)α=?
七、(本题12分)某种合金钢的抗拉强度Y(Pa)与钢的含碳量x 有线性回归关系,现进行了10次独立观测,并对测得数据进行处理得到如下结果:
8
.410
1
=∑=i i
x
,
2
.110
1
=∑=i i
y
,
∑==10
1
766
.0i i
i y
x ,
6
.210
1
2
=∑=i i
x
,
384
.010
1
2=∑=i i
y
(1) 求Y 对X 的线性回归方程。
(结果保留小数点后两位。
) (2)对回归方程的显著性进行检验。
八、(本题11分)对方程组:1011010011a a x ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
, (1)建立求解该方程组的Jacobi 法和Gauss-Seidel 法的迭代计算式; (2)分析讨论 a 的取值范围,使 Jacobi 迭代法收敛。