含字母系数的方程（组）的解法
✓ 知识梳理
说明：本讲内容如果没有特别说明，在含有字母系数的方程（组）或不等式（组）中，一般用a 、b 、c 等表示已知数，用x 、y 、z 表示未知数。

回顾上次课的预习思考内容
➢ 形如ax b =的方程的解的情况讨论：
◆ 当0a ≠时，方程有唯一解，为b x a
=（等式基本性质） ◆ 当0,0a b ==时，即00x ⨯=，方程有无数个解，即解为一切数
◆ 当0,0a b =≠时，方程无解
➢ 二元一次方程组111222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的可能性：
◆ 当1112
a b b b ≠时，方程组有唯一的解； ◆ 当111122
a b c b b c =≠，方程组无解； ◆ 当
111122a b c b b c ==时，方程组有无数多个解 练习： 1．关于x 的方程53ax x =-无解，则a ＝ ；
2．关于x 的方程2354mx x n -=-无解，则m ，n ；
3．已知二元一次方程组3221ax y x y +=⎧⎨-=⎩
无解，则a 的值是（ ） A ．a ＝－2 B ．a ＝6 C ．a ＝2 D ．a ＝－6
参考答案：1、5； 2、5324
m n =≠、； 3、D ✓ 题型分析
例题1：解关于x 的方程(1)32m x x -=+
教法说明：首先回顾下等式的基本性质：等式的两边同乘以（除以）同一个不为零的数，等
式的性质不变
参考答案：
试一试：解关于x 的方程23ax b x -=-
例题2：解关于x 、y 的二元一次方程组 2(1)(20)3(2)mx y n m n nx y m +=⎧+≠⎨-=⎩
教法说明：解关于字母系数的二元一次方程组通常用加减消元比较简便
参考答案：
试一试：解关于x 、y 的方程组：1(0,0)2ax by a b bx ay -=⎧≠≠⎨
+=⎩ 参考答案：
例题3：若方程组223
x y m x y +=-⎧⎨-=⎩的解x 与y 均为正数，求m 的取值范围．
教法说明：要求学生会解简单的含字母系数的二元一次方程组，将本方程组中字母m 的看成是常数
参考答案： 解：解方程组得1383m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
因为x 与y 均为正数，即00x y >⎧⎨>⎩ 所以103803
m m +⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩. 解不等式组得， 8m >
所以m 的取值范围是8m >．
试一试：已知关于x y 、的二元一次方程组26322x y m x y m
+=⎧⎨-=⎩的解满足二元一次方程
435
x y -=，求m 的值。

参考答案：
解：解方程组得22x m y m
=⎧⎨=⎩
将22x m y m
=⎧⎨=⎩代入435x y -= 得， 15m = 例题4：关于x 、y 的二元一次方程组 343232x y mx y +=⎧⎨
+=⎩的解中关于x 与y 的和等于1，求m
的值。

教法说明：可先通过x 与y 的和等于1得 1x y +=再和343x y +=构成二元一次方程组 参考答案：
试一试：如果方程组4232x y x y k -=⎧⎨
-=⎩
的解满足0x y +>，求k 的取值范围． 参考答案： 方法一：解关于字母系数的二元一次方程组得45645k x k y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
再根据0x y +>得 464055
k k --+> 解不等式得2k < 方法二：由(1)(2)- 得，2x y k +=-
因为0x y +>，所以20k -> 解不等式得：2k <
✓ 达标检测
此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习+20分钟互动讲解）。

1．已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+无解，求a 、b 的取值范围
2．如方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩
无解，则a ＝_____________。

3．若方程组32x y ax by b
+=⎧⎨-=⎩的解,x y 也满足方程23x y -=,则,a b 应满足的关系为
________________. 4．如果a 、b 为定值，关于x 的方程
2236kx a x bk +-=+，无论k 为何值时，它的解总是1，求a 、b 的值。

5．甲、乙两人解方程组415
x by ax by -=-⎧⎨+=⎩，甲因看错a ，解得23x y =⎧⎨=⎩；乙将其中一个方程的b
写成了它的相反数，解得11
x y =-⎧⎨=-⎩．求a 、b 的值．
6．已知方程组451x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和方程组62183418
x y ax by +=⎧⎨-=⎩有相同的解，求a 、b 的值．
参考答案：1．510,39
a b =≠-； 2．6a =-； 3．23a b =； 4．提示：把方程看作是关于k 的方程，则这个关于k 的方程的解为一切数 13,42a b =
=-； 5．2,3a b =-=； 6．45262183
2133418
11
x y x x y y x ax by y ax by a b -==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩=+=-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩=⎧⎨=-⎩解：由解得将代入解得 补充类试题：
1．要使方程组21620
x ay x y +=⎧⎨-=⎩有正整数解，求整数a 的值。

2.已知关于x ，y 的方程组
分别求出当a 为何值时，方程组（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解． 解：解由①得，2y=（1+a ）-ax ，③
将③代入②得，（a-2）（a+1）x=（a-2）（a+2），④
（1）当（a-2）（a+1）≠0，即a ≠2且a ≠-1时，方程④有唯一解x=1
+a 2+a ，将此x 值代入③有y=1)
+2(a 1，因而原方程组有唯一一组解； （2）当（a-2）（a+1）=0且（a-2）（a+2）≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解；
（3）当（a-2）（a+1）=0且（a-2）（a+2）=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．
解析
先把①中y 的值代入②，使方程变为只含x 的一元一次方程，根据x 的系数讨论方程组（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解时a 的取值即可．
本题考查的是解一元一次方程组，此类题目与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b 的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．
3. 已知 0)3(12
12=-+-b a 解方程组⎩⎨⎧=+=-5
13by x y ax
略解：因为
0)3(1212=-+-b a 所以
012
1=-a 03=-b 2=a 3=b 原方程组 解得 ⎩⎨⎧==12y x 4.求适合方程组⎩⎨⎧=++=-+0
5430432z y x z y x 求 z y x z y x +-++ 的值。

略解：把z 看作已知数。

⎩⎨⎧-=+=+z y x z y x 543432 解之得 ⎩
⎨⎧=-=z y z x 2231 所以 13
2528528==--=+-++z z z y x z y x 方法：把某个未知数，看做已知数，其它的未知数都用这个字母表示，代入所求的关系式，从而达到求解的目的。

5.解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx by ax 时，本应解出⎩⎨⎧-==23y x 由于看错了系数c,从而得到解⎩⎨⎧=-=2
2y x
试求a+b+c 的值。

方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而，求出参数的值。

8273=-⨯-⨯）（c 2-=c
把⎩⎨⎧-==23y x 和⎩⎨⎧=-=2
2y x 代入到ax+by=2中，得到一个关于a 、b 的方程组。

322222a b a b -=⎧⎨-+=⎩，解得45a b =⎧⎨=⎩
所以7254=-+=++c b a
✓ 学习总结
✓ 课后作业
【巩固练习】
⎩⎨⎧=+=-513by x y ax
1．已知关于x ，y 的两个方程组127x t x y +=⎧⎨-=⎩与382x y x y b
+=⎧⎨+=⎩的解相同，则a ＝_____，b ＝_____。

2．当a ____________，b ___________时，关于x ，y 的方程组212ax y x y b +=⎧⎨
+=⎩无解。

3．解关于x 的方程2(3)15(23)326
kx x +++= 4．已知m 是正整数，且方程组436626
x y x my -=⎧⎨+=⎩有正整数解，求整数m 的值。

5．当a 为何值时，方程组48326ax y x y +=⎧⎨+=⎩
的解是正数？ 6．已知方程组232x y x my n
+=⎧⎨+=⎩在什么情况下（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无数解？
参考答案：1、2， 1； 2、14,2a b =≠
； 3、4m =±； 4、5502
2k k x =≠=当时，解为一切实数；当时， 5、4a <； 6、
44646m m n m n ≠=≠==当时，唯一解；当，时，无解；当，时，无数解；。