扬州中学西 区校专题课
几何证明题中的辅助线添加
——平移、旋转、翻折的应用
一、图形的平移
平移的特征是把线段、直线、 平移的特征是把线段、直线、三角形等等图形 从一个地方移动到另一个地方， 从一个地方移动到另一个地方，通过平移可以 将图形中一些分散的条件汇集到一起， 将图形中一些分散的条件汇集到一起，也可以 把不太明朗的关系明朗化。 把不太明朗的关系明朗化。特别是对于有些条 件比较隐蔽的几何题，往往能起到“ 件比较隐蔽的几何题，往往能起到“柳暗花明 又一村”的效果。 又一村”的效果。由于线段或直线在平移过程 中保持着线段的长短和角的大小不变， 中保持着线段的长短和角的大小不变，这一结 论对于将题目中的有用条件集中到一起从而能 比较容易的添加出辅助线以达到解题的目的很 有好处。 有好处。
例７、如图七，已知：△ABC中，AD 如图七，已知： 中 的平分线， 为 的垂直 为∠BAC的平分线，EF为AD的垂直 的平分线 交于F， 平分线 ，EF、BC交于 ， 、 交于 求证： 求证：DF2=FC×FB。 × 。
A
E
B
D
C 图七
F
例8、如图八，已知△ABC中，AB＞ 、如图八，已知△ 中 ＞ AC，AD平分∠BAC，P是AD上任一 平分∠ ， 平分 ， 是 上任一 点， 求证： －ＡＣ＞ＰＢ－ＰＣ －ＡＣ＞ＰＢ－ＰＣ. 求证：AB－ＡＣ是将图形中的一部分沿着一条直线 进行翻折。 进行翻折。通过翻折可以构造出轴对称图 形并充分利用轴对称图形的性质进行解题。 形并充分利用轴对称图形的性质进行解题。 例如等腰三角形、等腰梯形等等。 例如等腰三角形、等腰梯形等等。它的基 本特点是各个对称点到对称轴的距离相等， 本特点是各个对称点到对称轴的距离相等， 因此利用图中的已知相等线段并以其对称 轴为对称轴构造轴对称图形是一种常见的 辅助线添加方法。 辅助线添加方法。
A E P B D 图五 C
例6、在等腰直角三角形 、在等腰直角三角形ABC中E、D 中 、 分别是直角边BC、 上的点 上的点， 分别是直角边 、AC上的点，且 CE=CD。过C、D作AE的垂线交斜边 。 、 作 的垂线交斜边 AB于L、K，求证：BL=LK. 于 、 ，求证：
F C E D
B
L 图六
例４、如图四，已知△ABC中，点M是 如图四，已知△ 中 是 BC边上的中点，过M作∠BAC的平分线 边上的中点， 边上的中点 作 的平分线 AD的平行线交 于F，交CA的延长线于 的平行线交AB于 ， 的平行线交 的延长线于 E点。 点 求证： 求证：BF=CE
E A F B M D C
N
为等边三角形ABC内的一 例5、设P为等边三角形 、 为等边三角形 内的一 点，且PA=5，PB=4，PC=3， ， ， ， 求此等边三角形的边长. 求此等边三角形的边长
Ｄ Ｅ
Ｂ
Ｃ 图二
Ｆ
二、图形的旋转
图形的旋转是把图形的一部分或全部绕着 一个确定的点从一个位置移动到另一个位 置。通过旋转可以把题目中一些不明朗的 关系明朗化， 关系明朗化，它的最大特点是在旋转过程 中旋转部分两点之间的距离不变、 中旋转部分两点之间的距离不变、两直线 间的夹角不变和对应直线的夹角等于旋转 角。它的使用范围一般是等腰三角形或中 心对称图形。 心对称图形。有时再结合基本辅助线添加 更能体现其在添加辅助线中的优势。 更能体现其在添加辅助线中的优势。
例１、如图一，在梯形ABCD 中， 如图一，在梯形 ∠A+∠B=90°，AB∥CD，M、N分 ∠ ° ∥ ， 、 分 别是AB、CD 的中点，求证：MN= 别是 、 的中点，求证： （AB－CD）。 － ）。
D N C
A
G M 图一
P
B
例2、求证：两中线相等的三角形是 、求证： 等腰三角形。 等腰三角形。 已知：如图二， 已知：如图二，△ABC中，Ｄ、Ｅ分 中，Ｄ、Ｅ分 别是AB、 的中点 的中点， ＝ 别是 、AC的中点，BE＝CD. Ａ 求证： ＝ 求证：AB＝AC
C
A
D B E 图十 F C
A
P
B
D 图八
C E
例9、如图九，在等腰直角三角形 、如图九，在等腰直角三角形ABC 分别是底边BC上的两点 中，E、F分别是底边 上的两点，且 、 分别是底边 上的两点， ∠EAF=45°. ° 求证： 求证：以BE、EF、FC 为边的三角形为 、 、 直角三角形. 直角三角形
A
B
E 图九 D
F