推理与证明一、核心知识1.合情推理（1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

（2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。

类比推理是由特殊到特殊的推理。

2.演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

演绎推理是由一般到特殊的推理。

(2)演绎推理的主要形式：三段论“三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是P。

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

3.直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。

直接证明包括综合法和分析法。

（1）综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

（2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。

要注意叙述的形式：要证A，只要证 B ，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

4反证法（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否 定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

（2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确 ，即所求证命题正确。

（3）反证法的思维方法:正难则反 ．．．．5．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤 (1)证明：当 n 取第一个值 n0（n0∈N*）时命题成立；(2)假设当 n=k (k ∈N*，且 k ≥n0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立 由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。

二、典型例题 例1. 已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ B ）A.4()22x f x =+； B.2()1f x x =+； C.1()1f x x =+； D.2()21f x x =+. 例2. 已知*111()1()23f n n N n=++++∈，计算得3(2)2f =，(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，由此推测：当2n ≥时，有 *21(2)()2n n f n N +>∈ 例3. 已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ ； 23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_______________________________________=23（ * ）并给出（ * ）式的证明.解：一般形式: 23)120(sin )60(sin sin 222=++++ ααα 证明：左边 = 2)2402cos(12)1202cos(122cos 1 +-++-+-ααα =)]2402cos()1202cos(2[cos 2123 ++++-ααα= -+-+- 240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2123ααα]240sin 2sin α =]2sin 232cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+----= 右边=23（将一般形式写成 2223sin (60)sin sin (60),2ααα-+++=2223sin (240)sin (120)sin 2ααα︒︒-+-+=等均正确。

）例4．若c b a ,,均为实数，且62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a 。

求证：c b a ,,中至少有一个大于0。

答案：（用反证法）假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ，则有0≤++c b a ，而3)632()1()1()1()62()32()22(222222-+++-+-+-=+-++-++-=++ππππππz y x x z z y y x c b a=3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x ∴222)1(,)1(,)1(---z y x 均大于或等于0，03>-π，∴0>++c b a ，这与假设0≤++c b a 矛盾，故c b a ,,中至少有一个大于0。

例5.求证：1+3+5+…+（2n+1）=（n ∈N*）三、课后练习1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( B )A.⎩⎨⎧ a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)B.⎩⎨⎧a 1＝1，a n＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2)C.⎩⎨⎧ a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *)D.⎩⎨⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2) [解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎨⎧a 1＝1，a n－a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( D )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D. 3．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( D )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 4．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( D )A ．大于0B ．小于0C ．不小于0D ．不大于0 [解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.5．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( B ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 、b 大小不定[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0，所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b . 6．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( C )A ．等边三角形B ．有一个角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个角是30°的等腰三角形[解析] ∵sin Aa＝cos Bb＝cos Cc ，由正弦定理得，sin Aa ＝sin Bb＝sin Cc，∴sin B b ＝cos Bb ＝cos Cc ＝sin Cc，∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．7.观察式子：474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，…，则可归纳出式子为（ C ）A 、121131211222-<+++n n B 、121131211222+<+++n n C 、nn n12131211222-<+++D 、122131211222+<+++n nn解析：用n=2代入选项判断。

8.设)()(,cos )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则=)(2008x f解：x cos ，由归纳推理可知其周期是49.函数()f x 由下表定义：若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,n =，则2007a = 4 ．10.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为___7__．11．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖______48n +_____块．（用含n 的代数式表示）12. △ABC 的三个角A 、B 、C 成等差数列， 求证：cb ac b b a ++=+++311。

答案：证明：要证cb ac b b a ++=+++311，即需证3=+++++++cb c b a ba cb a 。

即证1=+++cb ab ac 。

又需证))(()()(c b b a b a a c b c ++=+++，需证222b ac a c +=+∵△ABC 三个角A 、B 、C 成等差数列。

∴B=60°。

由余弦定理，有 60cos 2222ca a c b -+=，即ac a c b -+=222。

∴222b ac a c +=+成立，命题得证。

13.用分析法证明：若a >0，则212122-+≥-+aa a a 。

答案：证明：要证212122-+≥-+aa a a ，只需证212122++≥++aa a a 。

∵a >0，∴两边均大于零，因此只需证2222)21()21(++≥++aa aa 只需证)1(222211441222222a a aa aa aa +++++≥++++，只需证)1(22122a a a a +≥+，只需证)21(2112222++≥+aa a a ，即证2122≥+a a ，它显然成立。

∴原不等式成立。

14.ABC ∆中，已知B a b sin 323=，且C A cos cos =，求证：ABC ∆为等边三角形。

解: 分析：由32,323sin sin sin 32sin 3sin 323ππ=⇒=⇒=⇒=A A B A B B a b由C A C A =⇒=cos cos B C A ===∴3π所以ABC ∆为等边三角形15．已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1， 即a 2＋b 2＋c 2≥13.。