运用二倍角公式解题的五技巧 二倍角公式变化多姿，在求值以及恒等变换中应用很广。
若熟练掌握二倍角公式以及变通公式并能灵活运用，则往往能出奇制胜，获得新颖别致的解法。
一、二倍角公式的直接运用
例1 若1
sin cos 3
αα+=，0απ<<，求sin 2cos2αα+的值。
分析：由条件式两边平方，可求得sin 2α的值。
注意到22
cos 2cos sin ααα=- (cos sin )(cos sin )αααα=+-，还需求cos sin αα-的值，于是先求
22(cos sin )(sin cos )4sin cos αααααα-=+-的值，
然后开方，从而要进一步界定α的范围。
解：由1
sin cos 3
αα+=
两边平方得112sin cos 9αα+=，所以4sin cos 9αα=-。
又
0απ<<，
所以sin 0α>，cos 0α<，所以α为钝角。
所以8
sin 22sin cos 9
ααα==-，
cos sin αα-=
==，所以22cos 2cos sin ααα=-(cos sin )(cos sin )αααα=+
-1(339
=⨯-
=-，从
而sin 2cos 2αα+=。
点评：挖掘隐含得到α为钝角是解题的一个重要环节。
注意导出公式21sin 2(sin cos )ααα±=±。
二、二倍角公式的逆用 例2 求tan
cot
8
8
π
π
-的值。
解：tan
cot
8
8
π
π
-sin cos 88cos
sin
8
8
πππ
π
=-2
2sin cos 8
8cos
sin
88
π
π
ππ
-=
cos
41sin 24
π
π-=
2cot 24π=-=-。
点评：本题通分后逆用正弦与余弦的二倍角公式，从而转化为特殊角函数的求值问题。
三、二倍角公式的连用
例3 求cos12cos 24cos 48cos96的值．
分析：24212=⨯，48224=⨯，96248=⨯，联想二倍角的正弦公式αααcos sin 22sin =，若逐步逆用将是一条通途．
解：cos12cos 24cos 48cos96sin12cos12cos 24
cos 48cos96
sin12
=
sin19216sin12=
sin121
16sin1216
-==-。
点评：对形如αααα1
2cos 4cos 2cos cos -n 的求值问题可考虑此法．若逆用诱导公式ααπcos )2sin(=±可知74cos 72cos 7cos πππ14
5sin 143sin 14sin π
ππ-=，即对于正弦之
积或正弦余弦混合积的求值问题先利用诱导公式转化为余弦之积的形式利用此法求解． 四、整体配对使用二倍角公式
例4．求值：
78sin 66sin 42sin 6sin
分析：本题可按例２的点评部分所说的方法处理，这里介绍整体构造法．
解：设 78sin 66sin 42sin 6sin =A ，构造
78cos 66cos 42cos 6cos =B 则 156sin 132sin 84sin 12sin 161=
AB 66cos 42cos 6cos 78cos 16
1
= B 161=，因为0≠B ，所以16
1
=A ， 即16178sin 66sin 42sin 6sin = ．
点评：将已知式视为一个整体，然后构造一个与之对称的对偶式，通过联立这两个式子，求得原问题的解即为整体构造法．本题的值可求出，实质上是
78sin 66sin 42sin 6sin
12cos 24cos 48cos 84cos = 96cos 48cos 24cos 12cos -=．
五、二倍角公式的变用（升次或降次）
二倍角公式的变用包括公式形式上的变用（如将αααcos sin 22sin =变为
αααcos 22sin sin =
，α
α
αsin 22sin cos =；二倍角余弦公式变形得到升幂公式
1cos 22cos 2-=ααα2sin 21-=或得到降幂公式2
2cos 1sin 2α
α-=或
2
2cos 1cos 2α
α+=；）和与诱导公式等结合的综合变用（如导出万能公式和半角公式等）．
例5 求值：22
cos 5cos 102cos5cos10cos15+-
解：原式1cos101cos 20
2cos5cos10cos1522
++=
+- 1
1(cos10cos 20)2
=++(cos15cos5)cos15-+
21cos15cos5cos 15cos5cos15=+--21cos 15=-
1cos302124
+-=-=
六、整体思考运用二倍角公式
诱导公式与二倍角公式结合可以导出：cos 2sin 2()4
π
αα=+
2sin()cos()44ππαα=++，cos 2sin 2()4παα=-2sin()cos()44
ππ
αα=--。
例6．已知)4,0(π∈x ，且135
)4sin(=-x π，求)4
cos(2cos x x +π的值．
分析：若由135)4sin(=-x π展开后与1cos sin 2
2=+x x 联立并结合)4
,0(π∈x 是可以
求出x sin 和x cos ，但这样求解运算量是非常大的且容易出错．应将x -4
π
视为一个整体进行求解．
解：因为)4,
0(π∈x ，所以)4,0()4(ππ∈-x ，所以)4
cos(x -π)4(sin 12x --=π
1312=．所以)22sin(2cos x x -=π)4cos()4sin(2x x --=ππ13121352⨯⨯=169
120
=．
)]4(2cos[)4cos(x x --=+πππ)4sin(x -=π13
5=．
故原式13
24
513169120=⨯=
． 点评：在运用整体思想的条件下，要立足一个“变”字，善变则活．一是角的拆变，二是通过诱导公式实现角的变换而得到统一．要观察到2
)4
(
)4
(
π
π
π
=
++-x x ，
x x 22
)4
(
2-=
-π
π
而想到利用诱导公式和倍角公式．
例7．设a =α2sin ，b =α2cos ，求)4
tan(απ
+．
分析：要把απ
+4视为一个整体，并注意到απ
απ22
)4(2+=+，需要利用诱导公式来实现转化．
解：由sin 2cos(
2)2π
αα=-+，a =α2sin ，2cos(2)2cos ()124
ππ
αα+=+-得a -=+1)4
(
cos 22απ
① 由)22
sin(
2cos απ
α+=，b =α2cos 及二倍角的正
弦公式得b =++)4cos()4sin(
2απαπ
② 由②÷①得)4tan(απ+a
b
-=1．。