课题十：二倍角公式的应用，推导万能公式
教学第一环节：衔接阶段
● 回收上次课的教案，检查学生的作业，做判定。

● 了解家长的反馈意见
● 通过交流，了解学生思想动态，稳定学生的学习情绪
● 了解学生上次学习的情况，查漏补缺，为后面的备课方向提供依据 教学第二个环节：教学内容
一、解答本章开头的问题：
令∠AOB = θ , 则AB = a cos θ OA = a sin θ
∴S 矩形ABCD = a cos θ×2a sin θ = a 2sin2θ≤a 2 当且仅当 sin2θ = 1，
即2θ = 90︒，θ = 45︒时, 等号成立。

此时，A,B 两点与O 点的距离都是a 2
2 二、半角公式：在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的
例一、求证：α
+α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222 证：1︒在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2
α代α 即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2
cos 12sin 2α-=α 2︒在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2
α代α 即得： 12
cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3︒以上结果相除得：α
+α-=αcos 1cos 12tan 2 注意：1︒左边是平方形式，只要知道2
α角终边所在象限，就可以开平方。

2︒公式的“本质”是用α角的余弦表示2
α角的正弦、余弦、正切 3︒上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 4︒还有一个有用的公式：α
α-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan
（课后自己证） 三、万能公式 B C a θ A O D
例二、求证：2
tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan
2sin 2
222α-α=αα+α-=αα+α=α 证：1︒2
tan 12tan 22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 2
22α+α=α+ααα=α=α 2︒2
tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 2
2
2222α+α-=α+αα-α=α=α 3︒2
tan 12tan 22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2
22α-α=α-ααα=αα=α 注意：1︒上述三个公式统称为万能公式。

（不用记忆）
2︒这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切
即：)2
(tan αf 所以利用它对三角式进行化简、求值、证明， 可以使解题过程简洁
3︒上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小 教学第三个环节：知识总结 万能公式：2
tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan 2sin 2
222α-α=αα+α-=αα+α=α 教学第四个环节：知识应用环节 已知5cos 3sin cos sin 2-=θ
-θθ+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值。

解：∵5cos 3sin cos sin 2-=θ
-θθ+θ ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 ) ∴53tan 1tan 2-=-θ+θ 解之得：tan θ = 2 ∴原式572
122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(3222222=+⨯⨯++-=θ+θ⨯+θ+θ-= 教学第五个环节：布置作业
1、若α、β、γ为锐角，求证：α + β + γ = 4
π 2、求函数x x x f sin cos )(2+=在]4
,4[ππ-上的最小值。