小结. 求m × n 矩阵A 的秩r(A), 可用以下方法: 1. 对于比较简单的矩阵, 直接用秩的定义 直接用秩的定义. .
∼
1 0 0 0
0 1 0 4
0 1 0 −1 0 0 5 0
2. 用有限次初等变换, 用有限次初等变换, 将矩阵A变为它的等价 标准形 , 则 r = r( A ) . O O 3. 用有限次行初等变换, 用有限次行初等变换,将矩阵A变为梯矩阵, 则 r(A)等于该梯矩阵的非零行的行数 等于该梯矩阵的非零行的行数. （方法2 与方法3 相比, 方法3 较为简单.）
例1 求下列矩阵的秩: 求下列矩阵的秩:
(1) A = 2 2
1 1
2 4 8 (2) B = 1 2 1
(3) C = 2
1 2 4 1 4 8 2 3 6 2 0
.
解 (1)因为
1 1 a = 1 ≠ 0 而 det A = 1 1 = 0 A= 11 , 2 2 2 2 故 r ( A) = 1
又B 并无3阶子式, 阶子式,故 r (B) =2.
8 2 2 0
故, 矩阵C 的秩不小于2.
= −3 ≠ 0
另外, 因为矩阵 C 不存在高于3阶的子式, 可知r (C) ≤ 3. 又因矩阵C 的第1, 2行元是对应成比例的, 行元是对应成比例的, 故C 的任一 3阶 子式皆等于零. 子式皆等于零.因此
0 0 1 0
4 3 −3 4
1 0 B= 0 0
0 1 0 0
−1 −1 2 0
0 0 1 0
4 3 −3 4
1 0 (2) 每个台阶只有一行， 每个台阶只有一行，台阶 A = 0 数即是非零行的行数， ，阶梯 数即是非零行的行数 0 线的竖线后面的第一个元素
为非零元， 为非零元，即非零行的第一 个非零元． 个非零元．
1 2 0 0
−2 −1 0 0
1 1 5 0
4 0 −3 0
（阶梯矩阵B有4个非零行， 个非零行，必有一个4阶子式不为 零，故 r ( B ) = 4. )
（阶梯矩阵A有3个非零行， 个非零行，必有
一个3阶子式不为零， 阶子式不为零，故 r( A) = 3.)
Ir O O O
Hale Waihona Puke 其中 r = r(A).例 用行初等变换法, 行初等变换法,将其化为梯矩阵. 将其化为梯矩阵.
1 0 并求矩阵 A= 1 2 3 −1 1 4 解 1 0 A= 1 2 3 −1 1 4 0 1 0 −1 0 4 5 1 0 1 0 −1 5 0 0 0 0 1 0 −1 的秩。 的秩。 0 4 5 1 1 0 0 1 2 0 −2 ∼ 0 0 −1 0 1 0 4 5 0
行初等变换而化为梯矩阵 初等变换而化为梯矩阵. 而化为梯矩阵.
则 r ( A) = r (即为单位阵 I r 的阶数) 的阶数).
证明
定理1 定理1和定理2 和定理2可以简洁地表述为:等价矩阵的秩 相等; 任一矩阵必有与之等价的梯矩阵.
证明 这样 也可以更明确地说, 也可以更明确地说,任一 m × n矩阵A的等 价标准形, 价标准形,指的是一特定的m × n矩阵,其分块形式为
r ( A) ≤ min( m,n ) r ( A) = r( AT )
det A≠0.
(4(4-1) (4(4-2)
(4) 若 A是n 阶矩阵, 矩阵, 则 r(A)≤n , 且 r(A)=n 当且仅当
将行列式不为零的矩阵 将行列式不为零的矩阵(即非退化阵)称为满秩 称为满秩[矩]阵， 并称退化阵为降秩 并称退化阵为降秩[矩]阵.
2
定理1 任一m × n 矩阵A 经过有限次行初等 变换后秩不变. . 变换后秩不变 证明 (证明思路： 证明思路：因为不为零的子式经过行初等变换后仍然不 为零， 为零，为零的子式经过行初等变换后仍然为零. 所以矩阵 的秩不变） 的秩不变） 推论1 任一m × n 矩阵A 经有限次列初等变换 后秩不变. 秩不变.
第一节 矩阵的秩
第4章 矩阵的秩和 线性代数方程组的解
概念
计算
4.1.1 概念
定义1 对m × n 矩阵A, 称其一切非退化方子
矩阵的最高阶数 k 为A 的秩(rank), 记作r (A)=k, 并规定 r (O) = 0 . 若将A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行 列式或者简称为 列式或者简称为子式 或者简称为子式， 子式，则定义１ 则定义１可以说成r (A)是A 的一切的非零子式的最高阶数 的一切的非零子式的最高阶数. 切的非零子式的最高阶数. 即若r (A) = k , 则A 至少有一个取非零值的 至少有一个取非零值的k 阶子式， 阶子式，而所有k + 1阶子 式(如果存在的话 如果存在的话) 存在的话)的值都为零. 的值都为零.
阶梯形矩阵： 阶梯形矩阵：
1 1 −2 1 0 2 −1 1 例如： A= 0 0 0 5 0 0 0 0 特点： 特点： (1) 可划出一条阶梯线， 可划出一条阶梯线， 线的下方全为零；
4 1 0 , B = 0 −3 0 0 0
0 1 0 0
−1 −1 2 0
证明
（证明思路： 证明思路：因为行列式经过转置值不变， 因为行列式经过转置值不变，因此， 因此，对 行成立的结论对列也成立.）
推论3 若已知任一个m × n矩阵A的等价标准形 分解 其中 N =
Ir O , O O
定理2
任一m × n矩阵 A必可通过有限次
A = PNQ
(2(2-21′)
例2 说明
0 0 A= 0 0
3 0 7 1 0 8 0 2 0 0 0 5 0 0 0 0
为求r(A), 考虑以各行首个非零元为对角线元的 方子矩阵 方子矩阵
为梯矩阵, 为梯矩阵,并求出r(A) . 行是三个非零行,其非零首元分别 解 A的第1, 2, 3行是三个非零行, 是3, 8, 5,它们所在的 它们所在的列数 所在的列数分别为 列数分别为2, 3, 5; 而且全零 行之下已无非零行 行之下已无非零行. A 满足定义2的全部条件, 故 A 是个梯矩阵.
推论2 设A是任一 m × n 矩阵, 矩阵,而B 是m (或n) 阶 满秩矩阵 满秩矩阵, 矩阵,则必有
r ( BA) = r ( A) (或 r ( AB) = r ( A) ) 证明
(4(4-3)
（证明思路： 证明思路：因为任何一个满秩矩阵可以分解为有限个 初等矩阵的乘积， 初等矩阵的乘积，所以乘以一个满秩矩阵相当于对矩阵 做有限次初等变换， 做有限次初等变换，因此秩不变） 因此秩不变） 可以用一句话概括这个有用的推论: 可以用一句话概括这个有用的推论:“用满秩矩 阵去乘一个矩阵时不改变这个矩阵的秩. .” 阵去乘一个矩阵时不改变这个矩阵的秩
r (C ) = 2
1
从定义及上例的讨论过程可以看出: 从定义及上例的讨论过程可以看出: (1) 当且仅当A是零矩阵时, 是零矩阵时,r (A) = 0 . (2) 若A 存在一个非零 存在一个非零 k 阶子式， 阶子式，则必有r(A)≥k. (3) 若A 是 m × n 矩阵, 矩阵,则必有
4.1.2 计算 定义2 设A 是m×n 矩阵. 若对 k =1, 2, …, m-1, A 满 足以下两个条件: 足以下两个条件: 1.当第k 行是零 行是零( 即该行的元全为零) (即该行的元全为零 )时，第(k+1) 行必为零； 行必为零； 2.当第( 当第(k+1)行是非零行时， 行是非零行时，该行的首个非零元 所在的列号必大于第 所在的列号必大于第k 行首个非零元所在的列号, 行首个非零元所在的列号, 则矩阵A 称为梯矩阵 (echelon matrix).
Ir O
∼
1 0 0 0
0 1 4 0
∼
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 0 −1 5 4 0 0
1 0 0 因为 0 1 0 ≠0， 0 0 5
（或梯矩阵非零行数为3）
所以 r(A) =3。
3
( 3)
1 2 4 1 C = 2 4 8 2 3 6 2 0 首先 r (C) ≥2. 由于矩阵C 中有个零元 有个零元c34=0, 容易看出
2 4 8 (2) B = . 显然r (B) ≥1. 1 2 1 考察其2 2阶子式 阶子式, 考察其 ,此时虽有 2 4 2 8 但子式 = 0, = −6 ≠ 0. 1 2 1 1
3 0 1 0 8 2 0 0 5
这是个三阶三角阵, 这是个三阶三角阵,其行列式不等于零 其行列式不等于零. 不等于零.但是A 的任 一个四阶子式必含一个全零行 一个四阶子式必含一个全零行, 全零行,因此都等于零. 因此都等于零. 故
r ( A) = 3 = A 的非零行的数目. 的非零行的数目.