P67:32
练习题 P67:31,32
1 2 3 1
2 1 k 2 32.设A为54的矩阵，A0 1 1 3，且A的秩为3，求k.
1 1 0 4
2 0 2 5
19
P67:32
练习题 P67:31,32
1 2 3 1
2 1 k 2 32.设A为54的矩阵，A0 1 1 3，且A的秩为3，求k.
1 1 0 4
处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式.
例如
A
1 2 2
1 1 3
2 1 1 1 1 1
4 2
2
3 6 9 7 9
11 3 1
是 A的一个二阶子式.
说明
mn矩阵的k阶子式有
C
k m
C
k n
个.
6
2、矩阵的秩
定义2 设在mn矩阵A中有一个不等于零的r阶子式 D 且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么数 r 称为 矩阵A的秩 D 称为矩阵A的最高阶非零子式.
8
3、矩阵的秩的性质
(1)若矩阵A中有某个 s 阶子式不为0 则r(A) s 若A中所有 t 阶子式全为0 则r(A)t.
(2) 若A为mn矩阵 则 0 r(A) min{m n}.
r(Am×n) min{m n} 可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵。
(3) r(A)r(AT)，
a11 a12 L a1n
即初等变换不改变矩阵的秩 .
根据这一定理 为求矩阵的秩 只要把矩阵用初等(行)变换变成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.
11
例4 求矩阵A的秩 并求A 所以r(A)3.
的一个最高阶非零子式 其中
为求A的最高阶非零子式
3 2 0 5 0 考虑由A的 1、2、4 列构成的
解A 因 2 3 1 为 6 0 2 4 3 1 6 5 1 4 3 1 .矩阵A 0 2 3 3 1 6 0 2 2 6 5 5 1 . ~ 1000 6004 1401
(4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 r(A)n
A
a
21
a22 L
a2n
当|A|0时 r(A)n.
L L L L
可逆矩阵(非奇异矩阵),又称为满秩矩阵 am1 am2 L amn
不可逆矩阵(奇异矩阵),又称为降秩矩阵.
9
补充例3 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的 r 阶子式?
1 1 x
16
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设 三 阶 矩 阵 A1 x 1， 试 求 矩 阵 A的 秩 .
1 1 x
17
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设 三 阶 矩 阵 A1 x 1， 试 求 矩 阵 A的 秩 .
1 1 x
继续讨论x的值的变化对矩阵A的秩的影响，结果同解法一。18
任课教师:胡凤珠
1
矩阵的秩
➢ 秩(rank)是矩阵更深层的性质，是
矩阵理论的核心概念． ➢ 秩是德国数学家弗洛贝尼乌斯在
1879年首先提出的． ➢ 矩阵的秩是讨论线性方程组解的存
在性、向量组的线性相关性等问题 的重要工具．
2
课本§2.6 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念 二、矩阵的秩的求法
3
一、矩阵的秩的概念
A2331
2 2
0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
4031
可见r(A0 )＝3,
又因A0的子式
3 2 5 3 2 6 0
~ 行阶行梯变换形 矩0 0 0 1 阵 0 0 4 6 0 0 4 3 0 4 1 1 0 4 8 1 所 零以 子这式.个子式是A2 的最0 5 高阶1非2
规定 零矩阵的秩 等于0. 故r(A) =0 A=O．
矩阵A的秩，记作 r(A) 或 R(A)或 rank(A)或 秩(A) .
7
例1和例2综合 求矩阵A和B的秩 其中
A 4 2 1 7 2 3 5 3 1 B 0 0 0 2 0 0 3 1 0 0 0 1 0 4 2 3 0 2 5 3 . 解 在A中 容易看出一个 B是一个有3个非零行的
2 0 2 5
20
P21 ,2
解 ： D ( 1 ) ( 1 )1 3 5 2 ( 1 )2 3 3 0 1 ( 1 )4 3 4
1 5
a11 a12 -1 a14
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
Amn
r ~ 行阶梯形矩阵
(形式不唯一)
r ~ 行最简形矩阵
(形式唯一)
c ~ 标准形
FEr O O Omn
标准形由数r完全确定，r也就是A的行阶梯形中非零行 的行数 这个数便是矩阵A的秩.
4
一、矩阵的秩的概念
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
Amn
r ~ 行阶梯形矩阵
2阶子式
行阶梯形矩阵 其所有4阶子

1 2 3 2 1 0 非 式零 全元 为为 零对. 以角3元个的非3阶零子行式的首
A的3阶子式只有一个|A| 经计 算可知|A|0 因此r(A)2.
2 1 3 0 3 2
提示 对于行阶梯形矩阵 它的
秩就等于非零行的行数.
00 4 是一个上三角行列式 它显然 =24不等于0 因此r(B)3.
解答：可能有 .
例如
A
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
r(A)3.
000
0 0
0 0
是等于0的2阶子式
1 0
0 1
0 是等于0的3阶子式. 0
10
二、矩阵的秩的求法
任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵。 问题：经过初等变换后，矩阵的秩 变 吗？ ❖定理1 若A与B等价 则 r(A)r(B).
(形式不唯一)
r ~ 行最简形矩阵
(形式唯一)
c ~ 标准形
FEr O O Omn
由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可 以借助行列式来定义矩阵的秩．
5
1、k 阶子式
定义1 在mn矩阵A中 任取 k 行 k 列 (1km ,1kn)
位于这些行 列 交叉处 的 k2 个元素 不改变它们在A中所
例5
即AB与B等价
13
例6
14
小结
1. 矩阵的秩的概念 2. 求矩阵的秩的方法 (1)定义法
寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2)初等变换法
把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
15
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设 三 阶 矩 阵 A1 x 1， 试 求 矩 阵 A的 秩 .