若 A 的 所 有 r 1 阶 子 式 全 为 零 ， 则 r ( A ) r ； ( 4 ) 对 于 n 阶 方 阵 A 而 言 ， 有 r ( A ) n A 0 ；
r(A)nA0; 可逆矩阵也称为满秩矩阵。 ( 5 ) 设 P , Q 为 可 逆 阵 , 则 r ( P ) r ( A ) , A r ( A ) r ( A ) . Q
1 1 1 1 1
例1
A
0 0 0
3 0 0
1 0 0
1 2 0
2 03
,
111 0 3 1 6. 002
m n矩A 阵 的 k阶子C m k 式 •C n k个 共 . 有 定义 设 在 矩A阵中 有 一 个 不0等 的于 k 阶 子 式
D， 且 所r有 1阶 子(式 如 果 存 在)的 全话 等 于 0， 那 末D称 为 矩A阵 的 最 高 阶 非 零 子r式 称， 为数 矩 阵A的 秩 ， 记(作 A)或 秩r(A).
第五节
P105
定义 在mn矩阵A中任取 k行k列（ km, kn），位于这些行处列的交个 k2叉元素 ,不改 变它们A在 中所处的位置次的序 k阶而行得列式， 称为矩A阵 的k阶子.式
1 1 1
1 0 0
1 2 0
2 03
,
1 1 1 ,
1 2
定义 在mn矩阵A中任取 k行k列（ km, kn），位于这些行处列的交个 k2叉元素 ,不改 变它们A在 中所处的位置次的序 k阶而行得列式， 称为矩A阵 的k阶子.式
5
0 1 3 0 0
0 0 0 1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
任意一个矩阵都可以经过一系列的初等行变换 化为阶梯形矩阵。
初等变换不改变矩阵的秩。 阶梯形矩阵的秩等于其中非零行的个数。
矩阵秩的计算方法： 用初等行变换把矩阵化为阶梯形，则该阶梯
形矩阵中的非零行数就是所求矩阵的秩。
3 2 0 5 0
零矩阵的秩规定为0。
mn矩阵 A的秩 r(A)是A中非零子式的.最
矩阵秩的性质：
( 1 ) 若 A 为 m n 矩 阵 ， 则 0 r ( A ) m m , n ) ； i ( 2 ) r ( A T ) r ( A ) ； r ( k ) r A ( A ) ( k 0 ) ； ( 3 ) 若 A 有 一 个 r 阶 子 式 不 为 零 ， 则 r ( A ) r ；
2 1 3
而 0 3 2 0 , r(B)3.
00 4
若矩阵的每行第一个非零元的下方及左下方全为零， 则称之为阶梯形矩阵。
2 3 2 0 4
0 1 2 5 0
0 0
0 0
7 0
1 0
3 0
1 2 3
0 0 4
0 0
0 0
0 0
1 2 0 0 2
0 3 0 0 1
0
0
0
4
例2
求矩阵 A12
2 3
35的秩 .
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又A的3阶子式只有A一 ，且 个A0， r(A)2.
2 1 0 3 2
例3 求矩阵 B00
3 0
1 0
2 4
35的秩 .
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯其 形非 矩零 阵3行 ， 行有 ，
B的所4有 阶子式全 . 为零
1
r3 3r2
0
r4 4r2
0 0
6 4 1 4
4 3 1 1
0 0
0 0
4 4
8 8
r4 r3
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
0 0
0 0
0 0
4
0
08
r(A)3.
练习：
P143 习题三 17. 18.
例4
设A123
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413,求矩A 阵的秩．
解
r1 r4
A
1 3 2
6 2 0
4 3 1
1 6 5
4 1 3
3 2 0 5 0
r2 r4
r3 2r1
r4 3r1
1 6
0 4
4 1
31
41
0129 7 11
01612812
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12