中考系列复习——几何计算专题
一、中考要求
证明与计算，是几何命题的两大核心内容。
几何计算题，通常需要借助几何中的概念、定义、定理、公理等知识，求解相关几何元素的数值。
在解题时，要求能准确灵活地选用有关知识，采用各种数学方法（既可以是几何方法，也可以是代数方法），加以求解。
为了能在有限的时间内，迅速准确地解题，就需要在平时练习中，强化基础题，多采用一题多解、优化方案等训练方法，积累经验，达到熟能生巧的效果。
二、知识网络图
如图1所示：
图 1
三、基础知识整理
几何计算题的重点比较分散，从知识点本身来说，解直角三角形的知识具有计算题得天独厚的优势，所以涉及解直角三角形的试题大部分是计算题。
但是，在实际命题时，更多的是圆的有关计算题和四边形的计算题，它们与其它几何知识都有密切的联系，能在主要考查一个知识点的同时，考查其他知识点。
就题型而言，各种题型中都能见到几何计算题的身影，比如线与角计算题、三角形计算题、相似形计算题等等，综合性计算题则更多出现在中档解答题和压轴题中。
需要说明的是，根据中考命题改革的大趋势，几何计算题的难度比以前有所下降，更突出在题目的内容、形式、解法上有所创新，所以，我们不必把重点放到一些繁难的计算题上，而应扎实学好基础知识，多分析解题使用到的数学思想方法，比如方程与函数、分类讨论、转化构造等数学思想方法，重视数学知识的实际应用。
四、考点分析（所选例题均为2004年中考试题）
1、线与角计算题
所用知识主要有线段的中点、角平分线、线段或角的和差倍分、余角、补角的基本概念的定义，以及角的计量、对顶角性质、平行线性质等。
难度不大，可直接利用上述定义、
定理解题。
例1（黑龙江）如图1，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O ，则∠AOC+∠
DOB=____________.
图1
分析：∠AOC+∠DOB
= (∠AOD+∠DOB+∠COB)+∠DOB = (∠AOD+∠DOB)+(∠COB+∠DOB) = ∠AOB + ∠COD
= 900 + 900
= 1800
.
2、三角形计算题
三角形的内角和定理、三边关系定理及其推论，等腰三角形的性质、全等三角形的性
质、特殊三角形（比如等边三角形、含有300
的直角三角形）的性质、勾股定理、边长、周长及面积的计算等都是三角形计算题的常用知识。
解三角形计算题时也经常用到线与角的知识。
例2（江苏连云港）如图2，平面镜A 与B 之间夹角为110°，光线经平面镜A 反射到平面镜B 上，再反射出去，若21∠=∠，则1∠的度数为___________．
分析：根据光的反射定律可知，∠1=∠3，∠2=∠4. 因为21∠=∠，所以∠3 =∠4. 则∠3 、∠4成为顶角为1100
角的等腰三角形的两个底角， 因此，∠1 = 12 (1800 – 1100) = 12
×700 = 350
.
3、四边形计算题
随着对圆的计算、证明要求的降低，很多省市的几何中考重点开始向以四边形为主的内容转移。
比如，河北省连续多年把压轴题锁定在以四边形、三角形为主的直线型图形上。
图2
四边形计算题主要的运用知识有：多边形内角和定理及其推论（外角和定理），各种平行四边形及梯形的性质，平行线等分线段定理，三角形及梯形的中位线定理，四边形的周长尤其是面积的求法，对称问题，折痕问题等。
例3（北京海淀）已知：如图3所示，梯形ABCD 中，AD//BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=120°，BD BC ==43，求梯形的面积。
图3
分析：此题解法较多，下面提供其一，希望同学们在多想几种解法，分析所用知识点，比较优劣，以便在中考试有所选择，提高解题效率。
过点B 作BE ⊥DA 交DA 的延长线于E 。
∠=BAD 120° ∴∠=EAB 60° BD ABC 平分，∠ ∴∠=∠12
AD BC // ∴∠=∠32 ∴∠=∠=13302°分
在Rt △BDE 中， BD =43， ∴=
==⨯=BE BD ED BD 1
2
233064，°分
cos 在Rt △BEA 中， ∴=⋅=⨯=AE BE cot 60233
3
2 ∴=-=-=AD ED AE 6245分
()
∴=
+⋅=⨯+⨯=+S AD BC EB 梯形分
121
2
4432343126() 4、相似形计算题
相似形是解直角三角形和圆等知识的基础，特别是在圆中，相似形、比例线段更是所处可见。
这部分知识出现在计算题中的也有很多：比例及其性质、相似形的性质、平行线分线段成比例定理等等，另外，引入参数法等重要的数学方法在解题时也经常用到。
例4（山东泰安）有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE(如图4)，则CD 等于（ ）
A.25/4；
B.22/3；
C.7/4；
D.5/3.
图4
分析：Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB = AC 2+BC 2
=10cm.
将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，点B 与点A 关于折痕所在直线DE 对称，则DE 垂直平分AB ，BE=AB/2=5 cm.
易证Rt △BDE ∽Rt △BAC ，则BD:BE=AB:BC ，所以
BD = AB ·BE BC = 10×58 = 254 .
因此，CD = BC-BD = 8-25/4 =7/4.
故选C.
5、解直角三角形计算题
解直角三角形的全部主要内容都与计算有关。
中考中考查：特殊角的三角函数值，利用三角函数的定义式和各种关系式求解，综合运用勾股定理、直角三角形两锐角互余等直角三角形的性质解直角三角形。
例5（湖北荆门）如图5，将一副三角尺如下图摆放在一起，连结AD ，试求ADB ∠的余切值.
分析：过点A 作DB 的延长线的垂线AE ，垂足为E . 在等腰Rt BDC △
中，1451,BD DC BC ∠=︒===
设则
在Rt ABC △中，430,AB BC ∠=︒=⋅则
tan 3023
︒== 在Rt AEB △中，2180(13)180(9045)45∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒.
则EB EA AB ==⋅
sin 45323
︒=
= D
C
A
B
A B D
C
E 1 3
4
2 图5
在Rt DEA △
中，13
DE BD EB =+=
+， 则
cos 1DE ADB EA ∠=
=+=+ 6、圆的有关计算题
圆，可谓初中几何集大成者。
他的知识领域几乎涵盖了初中几何的全部内容。
涉及到计算的定理俯拾皆是：垂径定理、圆心角定理、圆周角定理、弦切角定理、切线长定理、相交弦定理以及它们的推论，圆的半径、直径、周长、面积，弧、弓形、扇形、圆柱、圆锥的相关计算公式等，无一不显示着计算题的本性。
例6（陕西）如图6，点C 在以AB 为直径的半圆上，连结AC 、BC ，AB =10，tan ∠BAC =3
4
，求阴影部分的面积.
分析：此题除了要用到圆的有关知识，主要与解直角三角形知识综合在一起。
∵AB 为直径， 2:,
90,3tan ,
43
sin .
5
sin ,10,344
106,68.
533
1125
58624.
222ABC AB ACB BAC BAC BC
BAC AB AB
BC AC BC S S S ππ∴∠=︒∠=∴∠=∠=
=∴=⨯==⨯=⨯=∴⨯⨯-⨯⨯=-阴影半圆19.解为直径又=-=
把初中几何甚至代数的知识融为一体，命制的几何综合计算题，在解答时，要注意知
识之间的联系，善于发现各种信息之间的结合点，从中提炼出所需的知识点，用来解决问题。
五、创新题一隅
1、已知：如图7，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB
为半
A
B
图6
径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB、DE、OC。
⑴从图中找出一对相似三角形（不添加任何字母和辅助线），并证明你的结论；
⑵若AD＝2，AE＝1，求CD的长。
图7
2、如图8，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD=2，BC＝8，
求：（1）BE的长；（2）∠CDE的正切值．
参考答案：
1、（⑴略；⑵CD＝3.
2、(1) BE=5；（2）tan∠CDE = 3/5. 图8
C。