高三极坐标与参数方程综合练习题1. (2016·全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.2. (2015·全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN的面积.3. (2016·全国Ⅲ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.4. (2014·辽宁，23)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.5. (2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值.6. 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t (t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.(1)求直线l 的倾斜角； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.7. (2016·高考全国模拟一)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数)倾斜角α＝π6的直线l 经过点P (1，2).(1)写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值.8. (2016·南昌模拟)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同.直线l 的极坐标方程为：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝10，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，其中α∈[0，2π).(1)试写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；(2)若点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值.9. (2014·全国Ⅰ卷)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.10. (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为与C 的交点，求M 的极径.11. 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线M 的直角坐标方程为x －2y ＋2＝0(x >0).(1)以曲线M 上的点与点O 连线的斜率k 为参数，写出曲线M 的参数方程； (2)设曲线C 与曲线M 的两个交点为A ，B ，求直线OA 与直线OB 的斜率之和.12. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋1ρ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数). (1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(3，3)，求|PA |＋|PB |的值.高三极坐标与参数方程综合练习题参考答案1.解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos2α－44.由|AB|＝10得cos2α＝38，tanα＝±153.所以l的斜率为153或－153.2.解(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝ 2.由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，所以△C2MN的面积为1 2 .3.解(1)C1的普通方程为x23＋y2＝的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cosα，sinα).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，d(α)＝|3cosα＋sinα－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－2.当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.4. 解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos ty ＝2sin t(t 为参数).(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0解得：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.5. 解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.② (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t 代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知， |MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.6. 解(1)直线的参数方程可以化为⎩⎨⎧x ＝t cos 60°，y ＝22＋t sin 60°，根据直线参数方程的意义，直线l 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，倾斜角为60°.(2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22，ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1，所以圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22到直线l 的距离d ＝64. 所以|AB |＝102.7. [解] (1)消去θ得圆的标准方程为x 2＋y 2＝16.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2＋12t (t 为参数).(2)把直线l 的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2＋12t 代入x 2＋y 2＝16.得⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16.即t 2＋(2＋3)t －11＝0.所以t 1·t 2＝－11，即|PA |·|PB |＝11.8. 解 (1)∵2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝10，∴ρsin θ－ρcos θ＝10，直线l 的直角坐标方程：x －y ＋10＝0.由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －2)2＝4.(2)由(1)可知，x 2＋(y －2)2＝4的圆心(0，2)，半径为2.圆心到直线的距离为： d ＝|1×0－1×2＋10|12＋（－1）2＝42，点P 到直线l 距离的最大值：42＋2. 9. 解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sinθ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255； 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.10. 解 (1)由l 1：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)消去t ，化为l 1的普通方程y ＝k (x －2)，①同理得直线l 2的普通方程为x ＋2＝ky ，② 联立①，②消去k ，得x 2－y 2＝4(y ≠0). 所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0).(2)将直线l 3化为普通方程为x ＋y ＝2，联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x 2－y 2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝322，y ＝－22， ∴ρ2＝x 2＋y 2＝184＋24＝5，∴与C 的交点M 的极径为 5.11. 解 (1)由⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0（x >0），y ＝kx得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22k －1，y ＝2k 2k －1.故曲线M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22k －1，y ＝2k2k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 为参数，且k >12. (2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x .将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22k －1，y ＝2k 2k －1代入x 2＋y 2＝4x 整理得k 2－4k ＋3＝0，∴k 1＋k 2＝4.故直线OA 与直线OB 的斜率之和为4.12. 解 (1)曲线C 的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋1ρ＝0，可得ρ2－2ρcos θ－6ρsin θ＋1＝0，可得x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0，曲线C 的普通方程：x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0.(2)由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数).把它代入圆的方程整理得t 2＋2t －5＝0，∴t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－5，|PA |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|，|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2 6. ∴|PA |＋|PB |的值为2 6.。