与圆的切线有关的计算与证明(1)类型之一与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z12- 1,0 O的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点，若/ P =30°,0 O的半径为1,贝U PB的长为1 .图Z12- 1 经典母题答图【解析】如答图，连结0C.••PC 为O O 的切线，.・./PC0 = 90在RtSCP 中，・・OC= 1,/P = 30°,••0P= 20C= 2,••PB= OP- 0B= 2- 1= 1.【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；⑵已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直.【中考变形】[2017天津]已知AB是O 0的直径，AT是O 0的切线，/ ABT= 50°, BT交O0于点C, E是AB上一点，延长CE交O 0于点D.(1) 如图Z12-2①，求/ T和/CDB的大小；(2) 如图②，当BE= BC时，求/ CD0的大小.解：⑴如答图①，连结AC ,••AT 是。
O 的切线，AB 是。
O 的直径, ••AT 丄 AB ,即/ TAB = 90°, •50°,・d 90°-/ ABT = 40由AB 是O O 的直径，得/ ACB = 90°• Q AB = 90°』ABC = 40°,/-CDB =/CAB = 40°;⑵如答图②，连结AD ,在厶 BCE 中，BE = BC ,/ EBC = 50• / BCE =/BEC = 65°, •/ BAD = /BCD = 65 • OA = OD ，•/ ODA =/ OAD = 65 • / ADC =/ ABC = 50°,• / CDO =/ ODA -/ADC = 65°- 50°= 15【中考预测】[2017宿迁]如图Z12-3, AB 与。
O 相切于点B , BC 为。
O 的弦，OC 丄OA , OA 与BC 相交于点P.图 Z12-2中考变形答图① 中考变形答图②5 ， ⑴求证：AP = AB ;⑵若0B = 4, AB = 3,求线段BP 的长.•CH = ■ 'OC 2- O 『=855,16/5-6 ‘5 ”BC -心「T -一2 5二 丁••OH dBC,/CH = BH , •°BC = 2CH = 类型之二 与切线的判定有关的计算或证明解: (1)证明：T OC = OB ,：Q CB =/ OBC , ••AB 是O 0的切线，.・.OB!AB , •••OBA = 90°,/ABP + Z OBC = 90°, ••OC!AO ,.・.AOC = 90°,•••OCB +Z CPO = 90°,・・APB =Z CPO , •••▲PB =Z ABP,/AP = AB ;⑵如答图，作 OH 丄BC 于H.在Rt ^OAB 中，；OB = 4, AB =3,•OA = ‘3+ 4= 5AP = AB = 3, ••PO = 2.在 Rt^OC 中，PC = OC 2+ OP 2= 2 5, 1 1^PCOH = 2OC OP ,••OHOP OC4亦PC = "T ，16 一 5中考预测答图【经典母题】已知：如图Z12-4, A是。
O外一点，AO的延长线交。
O于点C,点B在圆上，且AB= BC,Z A= 30°,求证：直线AB是O O的切线.图Z12-4 经典母题答图证明：如答图，连结OB,••OB= OC, AB= BC,Z A= 30°,.•.QBC=/ C=/ A= 30°,C+/ OBC = 60°.180°- / AOB+Z A) = 180°-60°+0°) = 90°,••AB JOB，又v OB为O O半径，：AB是O O的切线.【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”.【中考变形】1. [2016黄石]如图Z12-5,O O的直径为AB,点C在圆周上(异于A, B), AD 丄CD.(1)若BC = 3, AB = 5,求AC 的值；⑵若AC是/ DAB的平分线，求证：直线CD是O O的切线.解：(1)；AB是。
O直径，C在。
O上，.'.ACB= 90°,又「BC = 3, AB= 5,二由勾股定理，得AC = 4;图Z12-5中考变形1答图⑵证明：如答图，连结OC,••AC是A DAB的平分线，•••QAC= A BAC，又T AD 丄DC，A A A DC =A ACB= 90°，•••△DC sZ CB，.・.QCA =A CBA，又T OA= OC,：QAC=A OCA，• QAC+A OBC= 90°,/-OCA+A ACD= A OCD = 90°,•••直线CD是。
O的切线.2. [2017 南充]如图Z12 —6,在Rt A ACB 中，A ACB = 90°,以AC 为直径作O O交AB于点D, E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.(1) 求证：DE是。
O的切线；(2) 若CF = 2, DF = 4,求。
O直径的长.图Z12 — 6 中考变形2答图【解析】⑴连结OD，欲证DE是O O的切线，需证OD丄DE，即需证A ODE =90°, 而A ACB = 90°,连结CD，根据“等边对等角”可知A ODE= A OCE =90 °,从而得证；(2)在Rt△ODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解.解：(1)证明：如答图，连结 0D , CD. ••AC 是O O 的直径,A/ADC = 90° •••启DC = 90°.又:E 为BC 的中点， 1•QE = @BC = CE ,：z EDC =/ ECD. ••OD = OC ,：Q DC =/ OCD.• E DC + / ODC = / ECD + / OCD = / ACB = 90° • Q DE = 90°, DE 是O O 的切线；(2)设O O 的半径为 x.在 RtSDF 中，OD 2+ DF 2 = OF 2, 即 x 2 + 42= (x + 2)2,解得 x = 3. DO O 的直径为 6. 【中考预测】如图Z12-7, AB 是O O 的直径，点 C , D 在O O 上，/ A = 2/BCD ，点E 在AB 的延长线上，/ AED =Z ABC. (1)求证：DE 与O O 相切；⑵若BF = 2, DF = 10,求O O 的半径.••AB 是O O 的直径,DA CB = 90•••启0D = 2/ BCD ,Z A = 2/BCD , •••启 0D = / A,解：(1)证明：如答图，连结 OD. 图 Z12-7中考预测答图ABC ,.••启OD + 启 AED = 90°,• ODE = 90°,即OD 丄 DE ,/-DE 与 O O 相切；⑵如答图，连结BD ,过点D 作DH 丄BF 于点H.••DE 与O O 相切，•启ACD + 启 BCD =启 ODB + 启 BDE = 90OBD ,Z OBD =Z ODB ，•启DE =启 BCD , ABC ,.A FC =启 DBF , DFB ，•/ACF 与厶FDB 都是等腰三角形，••FH = BH = 1BF = 1,/HD =」DF 2— FH 2= 3,在 Rt ^ODH 中，OH 2+ DH 2= OD 2，即(OD — 1)2 + 32= OD 2, ••OD = 5.即O O 的半径是5.与圆的切线有关的计算与证明(2)1.如图8, CD 是。
0的切线，切点为A,AB 是。
0的直径.E,F O 0上的点,C (1)求证：/ DAE= / FDE//A B.C⑵若EF //CD,求证:△ AEF 是等腰三角形2. 如图7 O 0的半径为1,过点A(2, 0)的直线切 O 0于点B,交y 轴于点C. (1) 求线段AB 的长；(2)求以直线AC 为图象的一次函数的解析式.3、在厶ABC 中，AB=AC ，内切圆 O 与边BC 、AC 、AB 分别切于 D 、E 、F. (1) 求证:BF=CE ;(2) 若/ C=30 ° , CE =2.3，求 AC.FAO图7I—4. 如图10,在O O 中，/ ACB= / BDC=60°，AC=2、3cm，(1)求/ BAC的度数；(2)求O O的周长ADC5已知：如图，AB 是O O 的直径，AD 是弦,OC 垂直AD 于F 交O O 于E ,连结DE 、BE , 且/ C=ZBED .(1) 求证：AC 是O O 的切线； (2) 若 OA=10, AD=16，求 AC 的长.6.如图，MP 切O O 于点M ，直线PO 交O 0于点A 、B ，弦AC // MP , (1)求证：MO // BC . (2补充)连结CM,当四边形BCMO 为菱形时，求/ P 的度数 或反过来问：当.P =30°时,判断四边形7•如图，在 △ ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的O O 交BC 于点M , MN 丄AC 于点N .(1) 求证MN 是O O 的切线；(2) 若/BAC=120°, AB =2，求图中阴影部分的面积.APAM8如图，△ ABC 内接于半圆， AB 是直径，过 A 作直线 MN ，若/ MAC= / ABC(1) 求证：MN 是半圆的切线；(2) 设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于G , 过D 作DE 丄AB 于E ,交AC 于F . 求证：FD = FG .9.如图，半圆的直径 AB =10，点C 在半圆上，BC =6 .(1) 求弦AC 的长；(2) 若P 为AB 的中点，PE 丄AB 交AC 于点E ,求PE 的长.10.已知：如图， AB 为O 0的直径,E , BAC =45° .(1 )求• EBC 的度数；(2)求证：BD =CD .AB = AC, BC 交。
0于点D , AC 交。
0于点NE11.如图，在△ABC中，AB=AC , AE是角平分线，BM平分.ABC交AE于点M , 经过B, M两点的O O交BC于点G，交AB于点F , FB恰为O O的直径.求证：AE与O O相切；B12.如图，AB是O O的直径，C是弧BD的中点，CE丄AB,垂足为E, BD交CE于点F .(1)求证：CF 二BF ;(2选做)若AD =2 , O O的半径为3,求BC的长.B。