10.3二项式定理强化训练
【基础精练】
1．在二项式(x 2－1
x
)5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( )
A ．－10
B ．10
C ．－5
D ．5
2．(2009·北京高考)若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝ ( )
A ．45
B ．55
C ．70
D ．80 3．在( 1x ＋
51
x
3
)n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数
是
( )
A ．330
B ．462
C ．682
D ．792
4．如果⎝
⎛⎭
⎪⎫
3x 2－2x 3n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 ( )
A ．10
B ．6
C ．5
D ．3
5．在⎝ ⎛
⎭⎪⎫
2x －y 25的展开式中，系数大于－1的项共有 ( )
A ．3项
B ．4项
C ．5项
D ．6项 6．二项式41(1)n x +-的展开式中，系数最大的项是 ( )
A ．第2n ＋1项
B ．第2n ＋2项
C ．第2n 项
D ．第2n ＋1项和第2n ＋2项
7．若(x 2＋1
x
3)n 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．
8．（ x ＋2
x
2)5的展开式中x 2的系数是________；其展开式中各项系数之和为________．(用
数字作答) 9．若⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －
229
的展开式的第7项为214，则x ＝________.
10．已知(x －
124
x
)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
(1)证明：展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有有理项．
11．设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|；
(3)a1＋a3＋a5；
(4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2.
【拓展提高】
1．在(3x－2y)20的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项．
【基础精练参考答案】
1.B 【解析】：T k ＋1＝C k 5x 2(5－k )(－x －1)k ＝(－1)k C k 5x 10－3k
(k ＝0,1，…，5)，由10－3k ＝4得k ＝2.含x 4的项为T 3，其系数为C 25＝10.
2.C 【解析】：由二项式定理得：
(1＋2)5
＝1＋C 1
52＋C 2
5(2)2
＋C 3
5(2)3
＋C 4
5(2)4
＋C 5
5·(2)5
＝1＋52＋20＋202＋20 ＋42＝41＋292，
∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝70.
3.B 【解析】：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n －1＝1 024，∴n ＝
11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C 511＝C 611＝462.
4.C 【解析】：∵T k ＋1＝C k n (3x 2)
n －k ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2x 3k ＝(－1)k ·C k n 3
n －k ·2k ·x 2n －5k ， ∴由题意知2n －5k ＝0，即n ＝5k
2，∵n ∈N *， k ∈N，
∴n 的最小值为5.
5.B 【解析】：⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －y 25
的展开式共有6项，其中3项(奇数项)的系数为正，大于
－1；第六项的系数为C 55
20
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－125
＞－1，故系数大于－1的项共有4项．
6.A 【解析】：由二项展开式的通项公式T k ＋1＝41k n C + (－x )k ＝(－1)k 41k
n C +x k ，可
知系数为(－1)k 41k n C +，与二项式系数只有符号之差，故先找中间项为第2n ＋1项和第2n ＋2项，又由第2n ＋1项系数为(－1)2n 41k n C +＝41k n C +，
第2n ＋2项系数为(－1)2n
＋1
2141n n C ++＝－21
41
n n C ++＜0，故系数最大项为第2n ＋1项．
7.10【解析】：展开式中各项系数之和为
S ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n
＝32，∴n ＝5.
T k ＋1＝5k C ()
52
k
x － (1x
3)k ＝5k C 1023k k x －－＝5k
C 105k x －，
∴展开式中的常数项为T 3＝C 25＝10. 8. 10 253【解析】：∵T k ＋1＝C k 5x
5－k
·(2x
2)k ＝C k 5x 5－3k ·2k
，
由5－3k ＝2，∴k ＝1，∴x 2的系数为10.
令x ＝1得系数和为35
＝243.
9. －13【解析】：由T 7＝C 6923x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－226＝214， ∴x ＝－13
.
10.【解析】依题意，前三项系数的绝对值是1，C 1n (12)，C 2n (12)2
，
且2C 1n ·12＝1＋C 2n (12
)2
，
即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)， ∴展开式的第k ＋1项为C k 8(
x )8－k (－124
x
)k
＝(－12)k C k 8·x 8－k 2·x －k 4＝(－1)k
·C k 82k ·x 16－3k 4.
(1)证明：若第k ＋1项为常数项， 当且仅当
16－3k
4
＝0，即3k ＝16， ∵k ∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项． (2)若第k ＋1项为有理项，当且仅当16－3k
4
为整数， ∵0≤k ≤8，k ∈Z，∴k ＝0,4,8， 即展开式中的有理项共有三项，它们是：
T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝
1256
x －2
. 11.【解析】设f (x )＝(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5， 则f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，
f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(－3)5＝－243.
(1)∵a 5＝25＝32，
∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝f (1)－32＝－31. (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5| ＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5 ＝－f (－1)＝243.
(3)∵f (1)－f (－1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)， ∴a 1＋a 3＋a 5＝
244
2
＝122.
(4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2
＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5) ＝f (1)×f (－1)＝－243. 【拓展提高参考答案】
(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第2k －1项系数最大，于是
22222222424242020
22222222202220203232,3
232k k k k k k k k k k k k
C C ----------⎧⎪⎨⎪⎩≥C ≥C 化简得2
2
1014310070.10163924k k k k ⎧-⎪⎨+-⎪⎩≤≥0
又k 为不超过11的正整数，可得k ＝5，即第2×5－1＝9项系数最大，T 9＝C 8
20·312
·28
·x 12
·y 8
.。