二项式定理
1．知识精讲：
（1）二项式定理：（）
()n
n n r r n r n n n n
n n
b C b a C b a
C a C b a +++++=+-- 1
1
*∈N n 其通项是 （r=0,1,2,……,n ）
，知4求1，如：=+1r T r r
n r n b a
C -555
156b a C T T n n -+==亦可写成：=+1r T r
n
r n a
b
a C (（）
()()()n
n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=--- *∈N n 特别地：（）
(
)n
n n r
n r
n n n
n n
x C x C x C x C x +++++=+- 1
1*∈N n 其中，——二项式系数。
而系数是字母前的常数。
r
n C 例1．等于 （ ）
n
n n n n n C C C C 1
3213
93-++++ A ． B 。
C 。
D.
n
4n
43⋅134-n 3
1
4-n 解：设，于是：
n
n n n n n n C C C C S 1
3213
93-++++= =n n n n n n n C C C C S 333333
3221++++= 1
33333
32210
-+++++n
n n n n n n C C C C C 故选D
例2．（1）求的展开式的第四项的系数；
7
(12)x +（2）求的展开式中的系数及二项式系数
91
(x x
-3
x 解：（1）的展开式的第四项是，7
(12)x +333
317(2)280T C x x +==∴的展开式的第四项的系数是．7
(12)x +280（2）∵的展开式的通项是，91()x x
-9921991
()(1)r r
r r r r r T C x
C x x
--+=-=-∴，，
923r -=3r =∴的系数，的二项式系数．
3
x 339(1)84C -=-3
x 3
984C =（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
,,,,2
2
1
1
k
n n k n n n
n n n n n
n n C C C C C C C C ---====②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
如
果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：
n
；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最
()
1
22
max
+==n n n r n
T C C 大，即。
()
1211
212
12
1
max
++-+-====n n n n n n r
n
T T C C C ③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于即；n
2n
n n n n C C C 210=+++ 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即
1
31202-=++=++n n n n n C C C C 例3．已知，求：
7270127(12)x a a x a x a x -=++++ （1）； （2）； （3）.127a a a +++ 1357a a a a +++017||||||a a a +++ 解：（1）当时，，展开式右边为
1x =7
7
(12)(12)1x -=-=-0127
a a a a ++++ ∴，
0127a a a a ++++ 1=-当时，，∴，0x =01a =127112a a a +++=--=- （2）令， ① 1x =0127a a a a ++++ 1=-令， ②
1x =-7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=①② 得：，∴ .
-7
13572()13a a a a +++=--1357a a a a +++=7132
+-（3）由展开式知：均为负，均为正，1357,,,a a a a 0248,,,a a a a ∴由（2）中①+② 得：，
702462()13a a a a +++=-+∴ ，
7
0246132
a a a a -++++=∴017||||||a a a +++= 01234567
a a a a a a a a -+-+-+-
702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例4．（1）如果在 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的n
x x ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+4
21
有理项。
（2）求
的展开式的常数项。
3
21⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+x x 解：（1）展开式中前三项的系数分别为1， ，，
2n 8
)
1(-n n 由题意得：2×=1+得=8。
2n 8
)
1(-n n n 设第r+1项为有理项，，则r 是4的倍数，所以r=0，4，8。
4
3168
12
1
r r r r x
c T -+⋅⋅=有理项为。
2954
12561,835,x
T x T x T ==
=【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r 。
（2），其展开式的通项为
3
21⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-+x x 6
1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x ()2
2
661
11r r
r
r
r x x
C T ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-+，令得()2
2661r
r r
r
x
C ---=02r
26=-—r 3
=r
所以，常数项为
20
4-=T 【思维点拨】 密切注意通项公式的使用。
（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：取
()N n n n n
∈≥>,322的展开式中的四项即可。
()n
n 112+=例5、 若为奇数，则被9除得的余数是 （ ）
n 777
71221
1---++++n n n n n n n C C C A ．0 B 。
2 C 。
7 D.8
解：77771
221
1---++++n n n n n n n C C C ()1
1918--=-=n
n =()()1
19199
11
11--+-++----n
n n n n n n
C C 因为为奇数，所以原式=n ()2
]9199
[11
11--++----n n n n n n
C C 所以，其余数 为9 – 2 = 7，选C
例6：当且>1，求证N n ∈n 3)11(2<+
<n
n
证明: 2
111111)11(1221=+>++++=+n
C n C n C n C n n
n n n n n n ()()()()()n n
n n n n n n n n n n n n 12321!1!321!212112⋅⋅--++--+-+
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+
2
112112122
121212!1!31!212112-⎪
⎭⎫ ⎝⎛-+
=++++<++++<--n n n 从而.
32131
<-
-n 3)11(2<+<n n 【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。
2．重点难点: 二项式定理，和二项展开式的性质。
3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。
4．特别注意:①二项式的展开式共有n+1项，是第r+1项。
r r
n r
n b a C -②通项是 （r=0,1,2,……,n ）中含有五个元素，只要知道其
=+1r T r r
n r
n b a
C -r n b a T r ,,,,1+中四个即可求第五个元素。
③注意二项式系数与某一项系数的异同。
④当n 不是很大，||比较小时可以用展开式的前几项求的近似值。
x n
x )1(+。