初中数学解题模型专题讲解初中数学解题模型专题讲解专题17 17 全等三角形问题中常见的辅助线的作法全等三角形问题中常见的辅助线的作法全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论总论：：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，，构造二条边之间的相等构造二条边之间的相等，，构造二个角之间的相等个角之间的相等【三角形三角形辅助线做法】辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.1.等腰三角形等腰三角形等腰三角形““三线合一三线合一””法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.2.倍长中线倍长中线倍长中线：：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.3.角平分线在三种添辅助线角平分线在三种添辅助线角平分线在三种添辅助线4.4.垂直平分线联结线段两端垂直平分线联结线段两端垂直平分线联结线段两端5.5.用用“截长法截长法””或“补短法补短法””： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，，6.6.图形补全法图形补全法图形补全法：：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形度的把该角添线后构成等边三角形7.7.角度数为角度数为3030、、60度的作垂线法度的作垂线法：：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线一边上一点向角的另一边作垂线，，目的是构成3030--6060--90的特殊直角三角形的特殊直角三角形，，然后计算边的长度与角的度数边的长度与角的度数，，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为从而为证明全证明全等三角形创造边等三角形创造边、、角之间的相等条件角之间的相等条件。

8.8.计算数值法计算数值法计算数值法：：遇到等腰直角三角形遇到等腰直角三角形，，正方形时正方形时，，或3030--6060--90的特殊直角三角形的特殊直角三角形，，或4040--6060--80的特殊直角三角形的特殊直角三角形,,常计算边的长度与角的度数常计算边的长度与角的度数，，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角等的二条边或二个角，，从而为证明全等三角形创造边从而为证明全等三角形创造边、、角之间的相等条件角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种常见辅助线的作法有以下几种：：最主要的是构造全等三角形最主要的是构造全等三角形，，构造二条边之间的相等构造二条边之间的相等，，二个角之间的相等二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

DCB AEDFCBA特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线倍长中线（（线段线段））造全等造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.例2、如图，△ABC 中，E、F 分别在AB、AC 上，DE⊥DF，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CB A应用应用：：1、（09崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=°连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．CCBA（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD∆绕点A 沿逆时针方向旋转°θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC，AD 平分BAC ∠，且AD=BD，求证：CD⊥AC2、如图，AD∥BC，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA，CD 过点E，求证;AB＝AD+BC。

3、如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P，Q 分别在BC，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BPCDBABA4、如图，在四边形ABCD 中，BC＞BA,AD＝CD，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C A5、如图在△ABC 中，AB＞AC，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC应用应用：：三、平移变换平移变换例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .CBA例2 如图，在△ABC 的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.ED CB A四、借助角平分线造全等借助角平分线造全等1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O，求证：OE=OD2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，DG⊥BC 且平分BC，DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE、BE 的长.应用应用：：1、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：EDGFCBAAFED CB A（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。

请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

五、旋转旋转例1 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF 的度数.例2 D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F。

（1） 当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF。

（2） 若AB=2，求四边形DECF 的面积。

(第23题图)OP AMNEB CD FACEFBD图①图②图③例3 如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0120BDC ∠=，以D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点M，交AC 于点N，连接MN，则AMN ∆的周长为 ；BC应用应用：：1、已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =o ∠，60MBN =o ∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（图1）A B CD EFM N（图2）AB CD EFM N（图3）AB CD E FMN2、（西城09年一模）,PB=4,以AB 为一边作正方形ABCD,使P、D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变化,且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB 的大小.3、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且°=∠60MDN ,°=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，D C BAED F CB A若AN=x，则Q= （用x、L表示）．参考答案与提示参考答案与提示参考答案与提示一、倍长中线倍长中线（（线段线段））造全等造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故AD的取值范围是1<AD<4例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.解：(倍长中线倍长中线,,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,显然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.E D CB A解：延长AE 至G 使AG＝2AE，连BG，DG, 显然DG＝AC， ∠GDC=∠ACD 由于DC=AC，故 ∠ADC=∠DAC 在△ADB 与△ADG 中， BD＝AC=DG，AD＝AD，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG故△ADB ≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD 平分∠BAE 应用应用：：作等腰Rt ABD ∆和等腰1、（09崇文二模）以的两边AB 、AC 为腰分别向外Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=°连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转°θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．ABC ∆∴DE AM⊥，DE AM 21=二、截长补短截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC，AD 平分BAC ∠，且AD=BD，求证：CD⊥AC 解：（截长法）在AB 上取中点F，连FD△ADB 是等腰三角形，F 是底AB 中点，由三线合一知 DF⊥AB，故∠AFD＝90° △ADF ≌△ADC（S A S ）∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC2、如图，AD∥BC，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA，CD 过点E，求证;AB＝AD+BC解：（截长法）在AB 上取点F，使AF＝AD，连FECBA△ADE ≌△AFE（S A S ） ∠ADE＝∠AFE， ∠ADE+∠BCE＝180°∠AFE+∠BFE＝180° 故∠ECB＝∠EFB △FBE ≌△CBE（AA S ） 故有BF＝BC 从而;AB＝AD+BC3、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P，Q 分别在BC，CA 上，并且AP，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。