2018年高考数学专题十：与球体有关的问题一、高考趋势分析：立体几何章节在传统的高考中分值占22分左右，以两小一大的形式出现较多。

与球相关的问题也有考题出现，现针对近年高考考题形式总结如下 ，也是每年高考热点，每年高考中主要考查选择、填空题目、解答题。

二、基础知识点拨：1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径．2．正方体的内切球其棱长为球的直径．3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线． 4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 方法主要是“补体”和“找球心”考试核心：性质的应用22212r R OO d -==，构造直角三角形建立三者之间的关系。

三、高考试题精练1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C【考点】外接球表面积和椎体的体积．BOAC2．(2015·辽宁高考)已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210C.132D ．310解析：选C 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋62＝132.3．(2018·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________. 解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π.答案：63π4．四棱锥P ­ABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( )A ．9πB ．3πC ．22πD ．12π解析：选D 该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC .由直线EF 被球面所截得的线段长为22，可知正方形ABCD 对角线AC 的长为22，可得a ＝2，在△PAC 中PC ＝ 22＋222＝23，球的半径R ＝ 3，∴S 表＝4πR 2＝4π×(3)2＝12π.四、典型例题精析类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。

（两题互换条件形成不同的题）1.15．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1OO =A 、B 是圆1O 上两点，若A ，B 两点间的球面距离为23π，则1AO B ∠= . （2015年理科）2.15．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1OO =A 、B 是圆1O 上两点，若1AO B ∠=2π，则A,B 两点间的球面距离为 （2014年文科）类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径r Cc2sin =，从而解决问题。

3.15. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

（2014年理科） 析：欲求球的表面积，归根结底求球半径R ，与R 相关的是重要性质222d r R +=。

∵AA 1=2, ∴121121====AA OO OO d 。

现将问题转化到⊙O 2的半径之上。

因为△ABC 是⊙O 2的内接三角形，又知AB=AC=2，∠BAC=120°，三角形可解。

由余弦定理有32444cos 222=++=∠⋅⋅-+=BAC AC AB AC AB BC ，由正弦定理有2sin 22sin =∠=⇒=∠BACBCr r BAC BC∴.514222=+=+=d r R ∴ππ2042==R S 。

4.14．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 8 ．（2013年理科）5.12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S—ABC 的体积为 C （2014年理科）A ．33B ．32C ．3D ．16.（11）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =则球O 表面积等于 A （2015年文科）（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。

7.15.设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。

若圆C 的面积等于74π，则球O 的表面积等于 .（2015年文科） 析：问题的解决根本——求球半径OB R =。

与R 相关的重要性质222d r R +=中，2r 可求（∵472ππ=r ∴472=r ）问题转化到求OC d =上充分运用题目中未用的条件，2R OM =，∠OMC=45°，∴22R d = 于是84722R R +=求得22=R ，∴ππ842==R S8.(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 D （2014年理科） (A)7π (B)9π (C)11π (D)13π9.（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬060纬线长和赤道长的比值为C （2015文科）（A ）0.8 （B ）0.75 （C ）0.5 （D ）0.25类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。

10.13．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 4 cm ．（2010年理科） 11.16．长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，2BC =，则A ，B两点间的球面距离为3π.（2015年文科） 12.14．体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于π34 ．（2009年文科）13.16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为___1/3____．（2015年文科） 14.15.如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 22R π .类型五：平面几何性质在球中的综合应用。

15.（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．（2015年理科）BCDANM Oα析：由OM=ON 知，⊙M 与⊙No 为等圆，根据球中的重要性质∴7916222=-=-=d R r又MH ⊥AB 得H 为AB 中点，∴BH=AH=2 ∴322=-==BH r NH MH ∵∠OMH=∠ONH=90°∴∠MON=π－∠MHN 由余弦定理有MN 2=OM 2+ON 2－2OM ·ON ·cos ∠MON MN 2=MH 2+NH 2－2MH ·NH ·cos(π－∠MON) 解得cos ∠MON=21，即∠MON=3π ∴三角形OMN 为等边三角形， ∴MN=3. 类型六：性质的简单应用。

16.(15)已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于______16π_______.（2009年文科）17.（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 24 。

（2011年理科）18.（9）高为24的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为 C （2011年理科）（A ）24（B ）22(C)1 (D)2五、模拟试题精练1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C2．(2015·辽宁高考)已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210 C.132 D ．310答案：选C3．(2018·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S1S2＝________.答案：63π4．四棱锥P­ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( )A．9πB．3πC．22πD．12π答案：选D .5.如图所示，已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，CC1的中点，则四棱锥C1－B1EDF的体积为________.答案(1)1 6 a36.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22答案 A7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A.233B.476C.6D.7答案 A8.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的体积为( ) A.133π8B.133π6C.133π4D.133π2答案：B。