第二章 推理与证明
课题：2.3数学归纳法(1) 总第78导学案
【学习目标】
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
学习重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
学习难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用.
【学习过程】 一、学生自学
1、数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n =n 0时，命题成立，再假设当n =k (k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n =k +1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.
3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确； (2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确
二、展示交流
1．华罗庚的“摸球实验”.
2．“多米诺骨牌实验”.
问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法？
数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具.
3．数学归纳法的本质：
无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）
4．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n =k +1时结论也正确.（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确.
三、训练提升
例1、用数学归纳法证明：等差数列{a n }中，1a 为首项， d 为公差，则通项公式为d n a a n )1(1-+=.
例2、用数学归纳法证明：当n N *∈时，2135
(21)n n +++-= .
例3、用数学归纳法证明：当n N *∈时，2222(1)(21)1236n n n n +++++
+=.
例4、在数列{n a }中, 1a ＝1, n
n n a a a +=+11(n ∈*N ), 先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论．
四、评价小结
1．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n =k +1时结论也正确.（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确.
2. 注意从n=k 到n=k+1时,添加项的变化.利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.
五、检测反馈
1.书P87.No.2-5；
2.用数学归纳法证明:111111111234212122n n n n n
-+-++-=+++-++ (1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项；(2)当n=k 时,左边有_____项,右边
有_____项；(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项；(4)等式的左右两边,由n=k 到n=k+1时有什么不同?
【课后作业】
1、用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N)第一步应验证n= .
2、某个命题与正整数有关，若n=k (k ∈N +)时，命题成立，那么可推出当n=k+1时，该命题也成立.现已知当n=5时，该命题不成立，那么可以推得当n= 时，该命题不成立.
3、设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≤成立时，总可推出(1)f k +≤2
)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的序号是 . ①若(2)f ≤4成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≤成立；②若(4)f ≤16成立，则当
k ≤4时，均有2()f k k ≤成立；③若(6)36f >成立，则当k ≥7时，均有2()f k k >成立；④若(7)50f =成立，则当k ≤7时，均有2()f k k >成立.
4、用数学归纳法证明()111112321
n n n N n ++++<∈>-且，第二步证明从“k 到k+1”，左端增加的项数是 . 5、用数学归纳法证明：21427310(31)(1)n n n n ⨯+⨯+⨯+
++=+.
6、用数学归纳法证明：(1)(2)
()213(21),().n n n n n n N *+++=⋅⋅-∈n
7、若n 为大于1的自然数，求证 2413212111>+++++n n n
8、设正数数列{}n a 的前n 次之和为n S 满足n S =2)2
1(+n a . ①求321,,a a a ，4a ； ②猜测数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
9、用数学归纳法证明11111231
n n n ++⋅⋅⋅+≥+++(n ∈N,n ≥2).
10、设f(n)=1+11123n
++⋅⋅⋅+,求证n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=nf(n) (n ∈N,n ≥2).
11、用数学归纳法证明21111222
n ++⋅⋅⋅+< (n ∈N +).。