全等三角形
1、知识点复习
全等三角形定义： ____________________________________
三角形全等的条件：
边边边公理：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS。
简称为“三边”
边角边公理：如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS。
简称为“边夹角”
角边角公理：如果两个三角形的两个角及•其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等,简记为ASA。
简称为“角夹边”
角角边公理：有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为AAS。
简称为“角角边”
斜边直角边定理：两个直角三角形的直角边和斜边对应相等，这两个直角三角形全等，简记为：HLo
三角形全等的应用：证明全等测量距离证明平行
判定三角形全等的方法：
(1)已知两边对应相等
①证第三边相等，再用SSS证全等
②证已知边的夹角相等，再用SAS证全等
③找直角，再用HL证全等
(2)已知一角及其邻边相等
①证已知角的另一邻边相等，再用SAS证全等
②证已知边的另一邻角相等，再用ASA证全等
③证已知边的对角相等，再用AAS证全等
(3)已知一角及其对边相等
证另一角相等，再用AAS证全等
(4)已知两角对应相等
①证其夹边相等，再用ASA证全等
②证一已知角的对边相等，再用AAS证全等
（1）出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
（2）出现线段的中点（或三角形的中线）时，可利用中点构造全等三角形（常用加倍延长屮线）
（3）利用加氏（或截取）的方法解决线段的和、倍问题（转移线段）
2、典型例题
例题1、如图，在ZA（）B的两边C）A,OB上分别取C）M=ON, OD=OE, 求证：点C在ZAOB的平分线上.
DN和EM相交于点C.
例I题2、•如图，在/XABC中，AB = AC, ZBAC = 4 0°,分别以AB, AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE ,使ZEAD = Z.CAE = 90°.
（1）求ZDBC的度数；（2）求证：BD = CE .
例题3、如图，四边形A BCD的对角线AC与相交于。
点，Zl = Z2 , Z3 = Z4. 求证：（1）/\ABC ^/\ADC ；（2）BO = D O.
例题4、(1)如图1,以厶ABC的边AB. AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结EG,试判断△ ABC与厶AEG而积Z间的关系，并说明理由.
(2)园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有止方形的面积Z和是。
平方米，内圈的所有三角形的面积Z和
是b平方米，这条小路-共占地多少平方米?
E
外
（因
2 ）
例题5、
一、直角三角形的全等问题：宜角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点！宜角
三角形有关的全等问题中，除了特用的HL定理之外，在条件的寻找上首先就有了一纟艮肓角
相等；而多个直角，多个垂总的图形组合在一块时，就很容易利用“同（等）角的余角相等”
来得到其他的角相等。
例一：图1,已知D0丄BC, OC=OA, OB=OD,
［分析］:
图
1
［变形1］：请说明ABCE是直角三角形。
［变形2」：（2008威海）把两个含有45。
角的直角三角板如图1放置，点D在BC上
连结BE, AD, AD的延长线交BE于点F.求证：AF丄BE.
B
［分析］:
C A
［变形3］：两个人小不同的等腰点角三角形三角板如图1所示放賢，图2是山它抽象出的儿何
图形，B, C, E在同一条直线上，连结CD.
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);
(2)证明：CD1BE
［变形4］、如图2,在AABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，问△ BHD^AACD,
为什么？
［分析］:D
图1 图2
C
［变形5］：如图3,已知ED丄AB, EF丄BC, BD=EF，问BM=ME吗？说明理山。
D
图3
例二：如图1,已知，AC丄CE, AC=CE, ZABC=ZCDE=90° ,问BD=AB+ED 吗?
［分析］:
（1）凡是题中的垂直往往意味着会冇一组90°角，得到一组等量关系；
（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；（3）由全等得到边相等Z后，还要继续往下面想，这儿组相等的边能否组合在一起：
［变形1］：如图7,如果△ ABC^ACDE,请说明AC与CE的关系。
［注意］:两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）
C
［变形2］：（2008泸州）如图，E是正方形ABCD的边DC ±的一点，过点A作FA丄AE 交CB的延长线丁•点F,
求证：DE=BF
［分析］:
F B C
［变形3］：如图8,在AABC中，ZBAC=90° , AB=AC, AE是过点A的直线，BD丄AE,
CE 丄AE,
如果CE=3, BD=7,请你求出DE的长度。
［分析］:
D
［变形4］：在Z\ABC中，ZACB= 90°, AC=BC,直线MN经过点C,且AD丄MN于D,
BE丄MN于E。
（1）当直线MN绕点（2旋转到图9的位置时，△ADC9ACEB, 口DE=AD+BE。
你能说
出具屮的道理吗？
二、等腰三角形、等边三角形的全等问题：
［必备知识］:如右图，由Z1=Z2,可得ZCBE=ZDBA；反之，也成立。
例三：已知在△AB", AB=AC,在AADE 中，AD=AE,且Z1=Z2,请问BD二CE 吗？［分析］
［变形1］：如图13,已知ZBAC二ZDAE, Z1=Z2, BD=CE,
请说明△ ABD^AACE.吗？为什么？
［分析］:
［变形2］：过点A 分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD, CE,请说明它们相等。
［分析］:
［变形3］：如图16—⑻ 还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位迸稍加变
化”连接
BD,
CE,请说明它们相等 C
图15 图17 4
图18
［变形4］：（2008怀化）如图，四边形ABCD. DEFG都是正方形，连接AE. CG, AE与CG相交于点M, CG与AD相交于点N.求证：AE = CG ；［分析］:
例四：如图，AABC中，ZC=90°, AB=2AC, M是AB的中点，点N在BC上，MN丄AB.
求证：AN平分ZBAC.
［分析］:。