2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一直线方程、两直线的位置关系例1已知两直线1:80l mx y n ++=和2:210l x my +-=.试确定m 、n 的值，使： (1)1l 与2l 相交于点(),1P m -； (2)1l ∥2l ；(3)1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1. 【答案】（1）1m =，7n =.（2）4m =，2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，1l ∥2l . （3）0m =，8n =【解析】(1)由题意得280210m n m n ⎧-+=⎨--=⎩，解得1m =，7n =.(2)当0m =时，显然1l 不平行于2l ；当0m ≠时，由821m nm =-≠-，得⎩⎨⎧-≠=⇒⎩⎨⎧≠--⨯=⨯-⋅240)1(8028n m nm m m 或⎩⎨⎧≠-=24n m . 即4m =，2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，1l ∥2l .(3)当且仅当280m m +=，即0m =时，1l ⊥2l .又18n-=-，∴8n =.即0m =，8n =时，1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1.【易错点】忽略对0m =的情况的讨论【思维点拨】遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或0k =时，并且对于直线平行和垂直时与12A A 和12B B 间的关系要熟练记忆。

例2如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．【答案】2750x y +-=.【解析】与1l 、2l 平行且距离相等的直线方程为220x y +-=.设所求直线方程为()()2210x y x y λ+-+--=，即()()1220x y λλλ++---=.又直线过()1,1A -，∴()()()112120λλλ+-+-⋅--=.解13λ=-.∴所求直线方程为2750x y +-=.2【易错点】求错与1l 、2l 平行且距离相等的直线方程【思维点拨】本题的关键在于求到1l 、2l 平行且距离相等的直线方程，再利用这条直线求出和第三条支线的交点，从而求解本题.题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用） 例1已知实数x 、y 满足方程22410x y x +-+=.(1)求yx的最大值和最小值； (2)求y x -的最大值和最小值．【答案】（1）yx（2）y x -的最大值为2-+，最小值为2-.【解析】(1)原方程化为()2223x y -+=，表示以点()2,0为圆心，为半径的圆．设yk x=，即y kx =，当直线y kx =与圆相切时，斜率k=k =.故yx 的最大值(2)设y x b -=，即y x b =+，当y x b =+与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时=2b =-.故y x -的最大值为2-，最小值为2--. 【易错点】理解错给定要求结果的含义【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。

例2已知点()10,0P ，Q 为圆2216x y +=上一动点，当点Q 在圆上运动时，PQ 的中点M 的轨迹方程是 .【答案】()2254x y -+=.【解析】设点(),M x y 为所求轨迹上任意一点，()00,Q x y .因为M 为PQ 的中点，所以即 又因为点Q 在圆2216x y +=上， 所以()()22210216x y -+=，0010202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，，002-102.x x y y =⎧⎨=⎩，故所求的轨迹方程为()2254 x y-+=.【易错点】中点的错误应用【思维点拨】求出中点横纵坐标的方程及求出所求的直线题型三直线与圆、圆与圆的位置关系例1在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+(y-3)2=2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q 两点，则线段PQ长的取值范围是.【答案】PQ∈.【解析】设∠PCA=θ，所以PQ=sin θ.又cosθ=，AC∈[3，+∞)，所以cos θ∈，所以cos2θ∈，sin2θ=1-cos2θ∈，所以sin θ∈，所以PQ∈.【易错点】直接去求线段的长度【思维点拨】转化思想，把要求的线段长度转化为角度的关系，从而解决问题.例2已知圆.034222=+-++yxyxC：(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点),x11yP（向该圆引一条切线，切点为OM,为坐标原点，且有,POPM=求使得PM取得最小值时点P的坐标．【答案】（1）10x y++=，或-30x y+=.（2）33-105⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】(1)将圆C配方得()221(2)2x y++-=.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y kx=，，解得2k=±(2y x=.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，⎣AC⎛⎝⎦29⎛⎤⎥⎝⎦，719⎡⎫⎪⎢⎣⎭，13⎫⎪⎪⎣⎭3⎡⎢⎣4设直线方程为0x y a +-==1a =-，3a =.∴直线方程为10x y ++=，或-30x y +=.(2)由PO PM =,得22221111(1)(2)2x y x y +=++--，即点P 在直线:2430l x y -+=上．当PM 取最小值时，即OP 取得最小值，直线OP l ⊥， ∴直线OP 的方程为20x y +=. 得点P 的坐标为33-105⎛⎫⎪⎝⎭，. 【易错点】没有分类讨论【思维点拨】考查用点斜式、斜截式求直线的方法，利用分类讨论思想来解决问题 题型四 定点定值轨迹问题例1已知t ∈R ，圆C ：x 2+y 2-2tx -2t 2y+4t -4=0.(1)若圆C 的圆心在直线x -y+2=0上，求圆C 的方程.(2)圆C 是否过定点?如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，请说明理由. 【答案】（1）圆C 的方程为x 2+y 2+2x -2y -8=0或x 2+y 2-4x -8y+4=0. （2）过定点，定点坐标为()2,0【解析】(1)由原方程配方得(x -t )2+(y -t 2)2=t 4+t 2-4t+4，其圆心为C (t ，t 2).依题意知t -t 2+2=0，所以t=-1或2.即圆C 的方程为x 2+y 2+2x -2y -8=0或x 2+y 2-4x -8y+4=0. (2)整理圆C 的方程为(x 2+y 2-4)+(-2x+4)t+(-2y )·t 2=0，令 所以圆C 过定点(2，0). 【易错点】漏解【思维点拨】判定圆是否过定点，或是求圆所过定点坐标的问题，可以在方程形式上转化为关于某个参量的方程，结合恒等式的关系，再构造关于x ，y 的方程组求该点的坐标.若方程组有解，则说明圆过定点，否则圆不过定点.22-40-240-20x y x y ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩，，⇒20x y =⎧⎨=⎩，，例2如图，已知圆C ：x 2+(y -3)2=4，一动直线l 过点A (-1，0)与圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：x+3y+6=0相交于点N.(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C. (2)当PQ=时，求直线l 的方程.(3)探索·是否与直线l的倾斜角有关?若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）x=-1或4x -3y+4=0.（3）·与直线l 的倾斜角无关，且·=-5.【解析】(1)因为l与m 垂直，且k m =-，所以k l =3.又k AC =3，所以当l 与m 垂直时，l 的方程为y=3(x+1)，l 必过圆心C.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x=-1，符合题意. ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=k (x+1)，即kx -y+k=0. 因为PQ=2，所以1，则由=1，得k=， 所以直线l ：4x -3y+4=0，从而所求的直线l 的方程为x=-1或4x -3y+4=0. (3) 因为CM ⊥MN ，所以·=(+)·=·+·=·.①当l 与x 轴垂直时，易得N ， AM u u u u r AN uuur AM u u u u r AN uuu r AM u u u u r AN uuur 1343AM u u u u r AN uuur AC uuu r CM u u u u r AN uuu r AC uuu r AN uuu r CM u u u u r AN uuu r AC uuu r AN uuu r 51,3⎛⎫--⎪⎝⎭6则=.又=(1，3)， 所以·=·=-5；②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=k (x+1)， 则由得N ， 则=， 所以·=·=+=-5. 综上，·与直线l 的倾斜角无关，且·=-5.【易错点】忽略对斜率不存在情况的讨论【思维点拨】一般地，涉及到圆的切线或考虑其弦长问题时，若需要求直线的方程，则务必要全面考虑问题，即要考虑直线的斜率存在与不存在两种情况.【巩固训练】题型一直线方程、两直线的位置关系1.已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)l 1⊥l 2时，求a 的值．【答案】（1）当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行 （2）a ＝23【解析】（1）由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧-=⇒≠⨯--=⨯--1061)1(021)1(2a a a a a ，故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．（2） 由A 1A 2＋B 1B 2＝0得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.2.已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使P A ＝PB ，且点P 到直线l 的距离为2.AN uuu r 50-3⎛⎫ ⎪⎝⎭，AC uuu rAM u u u u r AN uuu r AC uuu r AN uuu r(1)360y k x x y =+⎧⎨++=⎩，，-3-6-51313k k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，AN uuu r -5-51313k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，AM u u u u r AN uuu r AC uuu r AN uuu r -513k +-1513k k+AM u u u u r AN uuu r AM u u u u r AN uuur【答案】P 的坐标为()1,4-或278,77⎛⎫-⎪⎝⎭ 【解析】设点P 的坐标为(a ，b )，∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. ∵点P (a ，b )在上述直线上，∴a －b －5＝0.①又P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277b ＝－87.∴所求点P 的坐标为()1,4-或278,77⎛⎫-⎪⎝⎭. 3.如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________．【答案】CD ＝210【解析】由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为CD＝210.题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用） 1.根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)． 【答案】（1）x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0（2）(x －1)2＋(y ＋4)2＝8【解析】(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②8又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(2) 如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22， 故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.2.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数f (x )=x 2+2x+b (x ∈R )与两坐标轴有三个交点.记过三个交点的圆为圆C. (1)求圆C 的方程；(2)圆C 是否经过定点(与b 的取值无关)?证明你的结论.【答案】（1）x 2+y 2+2x -(b+1)y+b=0. （2）圆C 必过定点(0，1)，(-2，1)【解析】(1)设所求圆的一般方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x 2+Dx+F=0，这与x 2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b ；令x=0，得y 2+Ey+b=0，此方程有一个根为b ，代入得E=-b -1，所以圆C 的方程为x 2+y 2+2x -(b+1)y+b=0. (2)圆C 必过定点(0，1)，(-2，1).证明如下：原方程转化为(x 2+y 2+2x -y )+b (1-y )=0，即解得或. 3.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是___________．【答案】(x －2)2＋(y ＋1)2＝1【解析】设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系1.若过点P (1，1)的直线将圆形区域{(x ，y )|x 2+y 2≤4}分为两部分，且使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 . 【答案】x+y -2=0【解析】当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件.圆心O 与点P 连线的斜率k=1，所以所求直线的斜率为-1，故所求直线方程为x+y -2=0.222-01-0x y x y y ⎧++=⎨=⎩，，01x y =⎧⎨=⎩，-21.x y =⎧⎨=⎩，2. 直线3+=kx y 与圆4)3()3x 22=-+-y （相交于,M N两点，若MN ≥，则k 的取值范围是________． 【答案】0.k 43-≤≤ 【解析】设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当32MN =时，134MA -MC AC 22=-==.∴当32MN ≥时，圆心C 到直线3+=kx y 的距离1d ≤.∴11k 32-3k 2≤++.∴()1k 1k 322+≤+，∴0.k 43-≤≤ 3.若圆O ：x 2+y 2=5与圆O 1：(x -m )2+y 2=20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是 . 【答案】4AB =【解析】依题意得OO 15，且△OO 1A 是直角三角形，=··OO 1=·OA ·AO 1，因此AB===4.题型四定点定值轨迹问题1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x+1)2+y 2=1，圆C 2：(x -3)2+(y -4)2=1.设动圆C 同时平分圆C 1、圆C 2的周长.(1)求证：动圆圆心C 在一条定直线上运动.(2)动圆C 是否经过定点?若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.【答案】（1）动圆圆心C 在定直线x+y -3=0上运动1OO A S V 122AB 12112OA AO OO ⋅⋅2510（2）动圆C 过定点，定点的坐标为和. 【解析】(1)设圆心C (x ，y )，由题意，得CC 1=CC 2，化简得x+y -3=0，即动圆圆心C在定直线x+y -3=0上运动. (2)圆C 过定点.设C (m ，3-m )，则动圆C 的半径为于是动圆C 的方程为(x -m )2+(y -3+m )2=1+(m+1)2+(3-m )2， 整理，得x 2+y 2-6y -2-2m (x -y+1)=0，联立方程组 解得或所以动圆C 过定点，定点的坐标为和. 2. 已知圆C ：(x -3)2+(y -4)2=4，直线l 1过定点A (1，0).(1)若l 1与圆相切，求直线l 1的方程.(2)若l 1与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l2：x+2y+2=0的交点为N ，判断AM ·AN 是否为定值?若是，则求出定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）x=1或3x -4y -3=0. （2）AM·AN 是定值且为6.【解析】(1)①若直线l 1的斜率不存在，即直线为x=1，符合题意.②若直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为y=k (x -1)，即kx -y -k=0. 由题意知，圆心(3，4)到已知直线l 1的距离等于半径22，解得k=， 1-2-22⎛ ⎝⎭1+2+22⎛ ⎝⎭22-10-6-20x y x y y +=⎧⎨+=⎩，，1222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩1-22-2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1-2-22⎛ ⎝⎭1+2+22⎛ ⎝⎭34所以所求直线方程为x=1或3x-4y-3=0.(2)方法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0.由得N.又因为直线CM与l1垂直，由得M，所以AM··6为定值.故AM·AN是定值且为6.方法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0.由得N.再由得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0，所以x1+x2=，得M.以下同方法一.方法三：(几何法)(变式)连接CA并延长交l2于点B，由题知k AC=2，=-，220--0x ykx y k++=⎧⎨=⎩，，2-23-2121k kk k⎛⎫⎪++⎝⎭，-1-4-(-3)y kx ky xk=⎧⎪⎨=⎪⎩，，2222434211k k k kk k⎛⎫+++⎪++⎝⎭，220--0x ykx y k++=⎧⎨=⎩，，2-23-2121k kk k⎛⎫⎪++⎝⎭，22-(-3)(-4)4y kx kx y=⎧⎨+=⎩，，222861k kk+++2222434211k k k kk k⎛⎫+++⎪++⎝⎭，2lk12所以CB⊥l2.如图，△AMC∽△ABN，所以=，可得AM·AN=AC·AB==6，是定值.3.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.【答案】（1）y=3或3x+4y-12=0.(2)120,5a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】(1)由得圆心C为(3，2)，因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.由题知切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，=1，所以|3k+1所以2k(4k+3)=0，所以k=0或k=-.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3，即y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆C的圆心在直线l：y=2x-4上，所以设圆心C为(a，2a-4)，则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.AMABACAN2-4-1y xy x=⎧⎨=⎩，，343412又因为MA=2MO ，所以设点M (x ，y )，，整理得x 2+(y+1)2=4，设为圆D.所以点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点，所以|2-1||2+1|， 由5a 2-12a+8≥0得a ∈R ；由5a 2-12a ≤0，得0≤a ≤. 终上所述，实数a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 125。