张量分析总结一、知识总结1 张量概念1.1 指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。

性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。

哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。

性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。

例：333323213123232221211313212111B x A x A x A B x A x A x A B x A x A x A =++=++=++ (1.1)式(1.1)可简单的表示为下式：i j ij B x A =(1.2)其中：i 为自由指标，j 为哑标。

特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j 则在同项中可出现两次，表示遍历求和。

在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。

1.2 Kronecker 符号定义ij δ为：⎩⎨⎧≠==j i ji ij ,0,1δ(1.3)ijδ的矩阵形式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111ijδ(1.4)可知3ij ij ii jjδδδδ===。

δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。

如：ij jk ikij jk kl ilδδδδδδδ==(1.5)ijδ的作用：更换指标、选择求和。

1.3 Ricci符号为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：⎪⎩⎪⎨⎧-=其余情况为奇排列为偶排列,0,,,1,,,1kjikjilijk(1.6)图1.1 i,j,k排列图ijkl的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。

Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。

1.4 坐标转换图1.2 坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为i e ，新坐标系的基矢为'i e 。

有''i j i j ij e e e e δ=='i e 在i e 下进行分解：''11'22'33'i i i i i j j e e e e e ββββ=++=j e 在'i e 下进行分解：''''1'12'23'3'j j j j i j i e e e e e ββββ=++= 其中，''''cos(,)i j i j i j j i e e e e e e β==⋅=⋅ 为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。

空间点P 在新老坐标系矢径：⎪⎩⎪⎨⎧'+='⋅='⋅'='0r r r e x r e x r j j i i (1.7)其中'0r 为上图中坐标原点的位移矢量。

将'r 向新坐标轴上投影的矢量的分量：'''''''''''''''''0000()()()()i k k i k ki i i k k i j j i k ki j i j i j i jr e x e e x x r r e x e e x e e x x x x δδββ⋅=⋅==+⋅=⋅+⋅=+=+即由此得新坐标用老坐标表示的公式：ij j i i x x x β+'='0)((1.8)类似地，将i 向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：''0()j j i ij x x x β=+(1.9)特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时'0()0i x =，上两式的矩阵形式为：{}[]{}{}[]{}[]{}'1''Tx x x x x βββ-===(1.10)由上可知，[][][]TI ββ= ，[]β是正交矩阵，则'1i j β=。

综合以上可知：''''''''''''''''i j l k lk i l j k i l j k i k j k i k j k i j i j i j e e e e e e ββββδββββδδ⎫⋅=⋅==⎪⇒=⎬⋅=⎪⎭(1.11)同理，可推出：''ij k i k j ββδ=将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，''()i i j x x x =； 将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，'()j j i x x x =''i ij j x dx dx x ∂=∂，其中'i j x x ∂∂为常数，称'i jx J x ∂=∂为雅克比行列式。

若J 处处不为0，则说明存在相应的逆变化，即：'''ji i j j i x x x x β∂∂==∂∂ 1.5 张量的分量坐标转换规律 1.5.1 一阶张量一阶张量在新老坐标系中的分解为：j j i i e a e a a =''=(1.12)其中：i j i j e e '='β (1.13)则：i j i j i i e a e a a '=''='β (1.14)得到：j i j i a a '='β (1.15)同理：j j i i e e '='β (1.16)得：i j i j a a '='β (1.17)矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量，标量为零阶张量。

1.5.2 二阶张量定义j i e e 为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。

由下式：⎩⎨⎧'=='''i j i jjj i i e e e e ββ (1.18)可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为：⎩⎨⎧''==''''''j i n j m i nm nm n j m i j i e e e e e e e e ββββ (1.19)又：j j i i j j i i e b e a e b e a ab ''''==(1.20)记：j i ij b a B =，j i ijb a B ''=' (1.21)则：j i ijj i ij e e B e e B ab '''== (1.22)该式表示 a 与 b 并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。

记为：j i ijj i ij e e B e e B B '''== (1.23)将式(1.13)代入上式可得：⎩⎨⎧'='='''''ij n j m i mnmn n j m i ijB B B B ββββ (1.24)此分量转换可进一步推广到高阶张量。

张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。

2 张量的代数运算2.1 张量的加减假如A 、B 为同阶张量，将它们在同一坐标系下的同类型分量一一相加（减），得到的结果即为它们的和（差），记为)(B A B A -+，例如：ij ij B A B A ±=±(2.1)显然，同阶张量进行加减运算后仍为同阶张量。

2.2 标量与张量的积张量A ，标量λ，若A B λ=，则：ij ij A B λ=(2.2)2.3 张量的并积两个同维不同阶（同阶）张量A 、B 的并积C 是一个阶数为A 、B 阶数之和的高阶张量。

k j i ijk e e e A A =(2.3) m l lm e e B B = (2.4)m l k j i ijklm e e e e e C B A C ==(2.5)式(1.10)中：lm ijk ijklm B A C =(2.6)2.4 张量的缩并若对某张量中任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低二阶的新张量。

ijk i j k ijk ik j iji j j j A A e e e A e A e B e δ====，有iji j A B =。

取不同基矢量点积，缩并结果不同。

2.5 张量的点积两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。

如下： k j i ijk e e e A A = (2.7) j l lj e e B B =(2.8)ijk lm i j k l m ijk lj i k l ikl i k l C AB A B e e e e e A B e e e C e e e ====(2.9)其中，ijk lj ikl A B C =(2.10)2.6 指标的转换对于张量k j i ijk e e e A A =，若对该张量的分量中任意两个指标交换次序，得到一个与原张量同阶的新张量。

如下式所示：k j i ijk k j i jik e e e B e e e A =(2.11)指标转换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到，如下式所示：k j i ijk k j i jik k i j ijk e e e B e e e A e e e A ==(2.12)2.7 张量的商法则张量T ，如果它满足对于任意一个q 阶张量S 的内积均为一个p 阶张量U ，即在任意坐标系内以下等式U S T =成立，则T 必定是一个p+q 阶的张量。

以上规则称为张量的商法则。

3 二阶张量二阶张量是连续介质力学中最常遇到的一类张量，例如应力张量、应变张量、变形梯度张量和正交张量等。

3.1 二阶张量的矩阵(1) 任何一二阶张量T 总可以按其分量写成矩阵形式：111213212223313233ij T T T T T T T T T T T ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3.1)二阶张量与矩阵虽然有上述对应关系，但它们并非全能一一对应。

首先，矩阵并非只包括方阵，而二阶张量只能对应方阵；其次，在一般坐标系中，转置张量与转置矩阵、对称（或反对称）张量与对称（或反对称）矩阵不能一一对应；第三，二阶张量的某些运算不完全能用矩阵的运算与之互相对应。