2 k Fp 3l
1k 3
1 k
3 0 2 k Fp 3l
解得：
Fpcr1
1 3
kl
,
Fpcr2 kl
位移有无穷多个解，该状态下的体系为临界平衡状态
问题：荷载大于临界荷载时位移y1,y2也只有0解
16.3 有限自由度体系的稳定—能量法
总势能驻值原理(stationary principle of total potential energy) 体系静稳定平衡条件：
单自由度体系静力法求临界荷载（P216）
x
Δ Fp
B
θ
A y
MAB= kθ
l
解：设转角，位移 l
平衡方程： M A 0 Fpl M AB 0
M AB k 代入得： Fpl k 0
有非0解的条件
Fp
k l
临界荷载：
Fpcr
k l
问题：荷载大于临界荷载时角位移也只有0解
单自由度体系静力法求临界荷载例
对于完善体系的分支点失稳，无论采用小挠度理 论，还是大挠度理论，所得临界荷载值是相同的。
16.3 有限自由度体系的稳定—静力法
讨论分支点失稳问题，按小挠度理论求临界荷载
1、静力法
计算思路 假定体系处于微变形的临界状态，列出相应的平衡方程， 进而求解临界荷载。
计算步骤 （1）确定基本未知位移，取隔离体、建立静力平衡方程。 （2）建立平衡方程中位移有非0解条件的稳定方程(特征方 程)。 （3）求解稳定方程的临界荷载。 （4）求解稳定方程的特征向量, 绘失稳形式图(buckling mode)。
了性质上的突变，带有突然性。
临界状态
P
P>Pc r
分支点
P
临界荷载
新平衡
l
l
Δ
l/2
(a)直线平衡状态 (b) 弯曲平衡状态
C B
P2 Pc r P1
A
D 大挠度理论
D'
小挠度理论
O
Δ
（c） 荷载—位移曲线（P—Δ 曲线）
2、第二类失稳（非完善体系极值点失稳）：虽不出现新的 变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许 可值，结构不能正常工作。
k
k
解法2： （解法1详见P218） 设B,C点的竖向位移为y1，y2
隔离体
Fp
Fp
B ky1
Fp Fp
C ky2
结点B投影平衡方程
结点C投影平衡方程
Fy 0
Fy 0
ky1
Fp
y1 l
y1
l
y2
0
ky2
Fp
y2
l
y1
y2 l
0
例题16-1
投影平衡方程:
k
2
Fp l
y1
eP P
临界荷载
P
小挠度理论
Δ
A
B
Pcr
Pc r C 大挠度理论
P
Oபைடு நூலகம்
Δ
(a) 偏心受压杆
(b) 荷载——位移曲线（P—Δ 曲线）
3. 跃越失稳
弹性静稳定平衡的条件
完善体系
1. 平衡路径之前没有分支点，则体系的状态为稳定平衡状态。 2. 平衡路径之前有分支点，荷载随位移增大而增大，则体系的 状态为稳定平衡状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。
FRB=kΔ
y
单自由度非完善体系的极值点失稳
3.按大挠度理论
F 1.2 p
kl 1
0.8
0.6
0.4
ε=0 ε=0.01
ε=0.1 ε=0.2
Fpcr 1.2 kl 1
0.8 0.6 0.4
0.2
0.2
0
0
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
Fp
kl
cos
1
sin
线性(叠加原理成立)
1 2
非线性(叠加原理不成立)
Fp
原 状 态
Fp
原 状 态
Fp
干 扰 状 态
Fp
干 扰 状 态
Fp
取
消
干
扰
后
的
状
态
Fp
取
消
干
扰
后
的
状
态
Fp Fpcr
由于取消干扰后结构可 以恢复原状,所以原状 态为稳定状态
Fp Fpcr 临界状态
Fp Fpcr
由于取消干扰后结构无 法恢复原状,所以原状态 为不稳定状态
非完善体系
体系处于荷载随位移增大而增大的状态，荷载与位移一一对 应，则平衡状态为稳定衡平状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。
稳定问题的自由度：与动力问题相似，确定体系变形状态 所需要的独立几何参数（一般指的是位移, 并垂直于力的 方向）的数目
x Δ
B EI
Pc r kΔ
θ
A y
单自由 度体系
x Δ
Fp
Fp
C
y C
平衡方程： Fpl M AC 0
l∞ EI
A l
Fp
A MAC= SAB
MAB=SAB
B
A
EI
l
Δ Fp C
θ
A y
SABθ
M AC
S AB
3EI l
代入得
B
Fpl
3EI l
0
临界荷载
0
3EI Fpcr l 2
例题16-1 双自由度体系静力法求临界荷载
A
y1
y2
D
Fp
B
C
1. 总势能为驻值(静力平衡) 2. 驻值为极小值（稳定）
1. (不稳定)
2.
θ=0，Fp为任意值
θF>p0,
l
k sin
单自由度非完善体系的稳定问题
6. 按大挠度理论
x
Δ Fp
B
θ
l
l sin( )
M AB k
F1.4 p 1.2
平衡方程
k /1l
M AB Fp
0.8
0.6
ε=0.01 ε=0.05
代入得
0.4
A y
MAB= kθ
k Fpl sin( ) 0.2
d l sin 2 l cos 2 l
小挠度理论
d cos
弹性稳定问题的6种情况
完善体系大挠度理论分析
Fp
Fp
1. 分支点失稳
完善体系小挠度理论分析
Fp
2. 分支点失稳
5. 稳定平衡
Fpcr O
Fpcr
例：图16-6
O
Fpcr
例：图16-7
O
非完善体系大挠度理论分析
Fp
Fp
B
A 6. 稳定平衡
单自由度完善体系的分支点失稳
2. 按小挠度理论
MA 0 , Fp (l sin) FRB(l cos) 0
x
Δ Fp
kΔ
B
考虑在小变形情况下，取 sinθ=θ、cosθ=1， θ
弹簧的反力 FRB k kl
EI无穷大
上式可写为 Fp kl l 0
分支后两条平衡路径：
A
y
1. θ=0， Fp为任意值(不
结构力学稳定计算
16-1 稳定问题概述
基本概念 1、失稳（instability ）：当荷载超过某一数值时，体系由稳
定平衡状态转变为不稳定平衡状态，而丧失原始平衡状态的 稳定性，也称屈曲（buckling）。原先受压的构件突然发生弯 曲变形，或与受力方向垂直的变形现象
2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中间 状态（中性平衡状态）。
Fp A
C
Fpy1/l
B
D Fp Fpy2/l
由以上得平衡方程：
静力法存在多种解法，灵活多变，
2 3
k
Fp l
y1
1 3
ky2
0
1 3
ky1
2 3
k
Fp l
y2
0
有利于处理简单计算。但静力法 缺乏规律性，很难建立具有明确 物理意义的方程，因此不适用于 处理复杂问题的程序化计算。
平衡方程有非0解条件：满足稳定方程(特征方程)
0.3
0.4
0.5
临界（极值）荷载 ： Fpcr kl
接近临界荷载时，位移不断增大而承载力几乎不增大，所以位移增大的过程是不稳定的
单自由度完善体系的稳定问题
5. 按大挠度理论
x
Δ Fp
B
l sin ,
平衡方程
M AB Fp
M AB k
θ
A y
MAB= kθ
l
代入得
k Fpl sin
Fp
k 2Fp
D
l
Fp
l
Fp l 0 k 2Fp
l
解得：
1 Fpcr1 3 kl , Fpcr2 kl
例题16-1
将 解：
Fp
1 3
kl
代入平衡方程得无穷多个
k
2
1
3 l
kl
1 kl 3
l
k
1 kl 3
l 21
3 l
kl
y1 y2
0 0
y1 1 10 100 y2 1 10 100
Fp
k l sin( )
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
θ
承载力随位移增大而增大。在材料极限应变容许范围内，不存在极值，所 以位移增大的过程是稳定的。因此对于该种体系，如采用大挠度理论，不 存在临界荷载的理论值。